Cómo demostrar que la matriz de la desigualdad de $\det(A+B)\ge 2^n\sqrt{\det(A)\det(B)}$

Question

Pregunta:

Deje $A_{n\times n}$ $B_{n\times n}$ ser positivo Hermitian matrices.

Mostrar que $$\det(A+B)\ge 2^n\sqrt{\det(A)\det(B)}.$$

Sé que esto $$\det(A+B)\ge \det(A)+\det(B)$$

Pero Mi problema no puedo,(tal vez esto es viejo reslut,y también no puedo encontrar),

Muchas gracias!

Answer 1

Esto parece ser un poco tarde para contestar, pero la siguiente teorema está demostrado en "Álgebra Lineal" por la laxitud en el capítulo 10.

Deje $A$ $B$ ser uno mismo-adjoint, positiva, $n \times n$ matrices. A continuación, para todos los $0<t<1,$ \begin{align} \det(tA + (1-t)B) \geq (\det A)^{t}(\det B)^{1-t}. \end{align} Su respuesta sigue con $t = \frac{1}{2}$.

Answer 2

Este es un corolario de Minkowski es Determinante Teorema: $\det(A+B)^\frac{1}{n}\geq \det(A)^\frac{1}{n}+\det(B)^\frac{1}{n}.$ Aplicar AM-GM de la desigualdad en la mano derecha.