Demostrando $a^2+b^2=c^2$ donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Question

Demostrando $a^2+b^2=c^2$ donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

En primer lugar, nunca he hecho una prueba antes, lo siento, soy tan pobre aquí. He pasado muchas horas, pero mis acciones en su mayoría han utilizado ideas equivocadas. Sólo diré lo que he hecho y que creo que es correcto. Si necesita mi otro escrito yo puedo escribir pero fue en su mayoría sobre el montaje de las formas dentro de los triángulos y creo que el gran error es que si la igualdad de la declaración de $a^2+b^2=c^2$ estaban a estar mal, entonces nada sobre el interior de los triángulos no puede demostrar que la instrucción se mal debido a que el álgebra es conectado a la geometría del triángulo y las formas están dentro de la geometría del triángulo.

Inicio: empecé con el dibujo de un cuadrado con lados de $d,e,f,g$ todos la misma como un. El mayor derecho triángulo tiene dos lados de la misma longitud. En esta plaza caben al menos dos triángulos en su interior tanto de no más pequeño que el otro, con un lado igual a una. Que es verdad porque si usted hizo uno más pequeño que el otro y la metió en una esquina de la plaza, entonces el más grande del triángulo de tocarlo se superpondrían las esquinas de la plaza que está mal.

Entonces, la suma de $d+e+f+g=4a$ es de más de $a+b+c$ donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados de uno de los triángulos y $4a>a+b+c$. Entonces me cuadrado

$$\begin{eqnarray*} 16a^2&>& (a+b+c)^2\\ &=&a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\\ \end{eqnarray*}$$

La única cosa que puedo hacer aquí es usar la ecuación en la parte superior de modo que si $a^2+b^2=c^2$ no es cierto para el triángulo, entonces es $a^2+b^2=c^2+z$ algunos $z$. Pero me resta que a partir de la expresión y no era malo que pensé que tendría que ser, ya he añadido el $z$. Supongo que el extra $z$ no se puede mostrar la ecuación está mal, ya que cualquier número puede ser igual a ella, incluyendo aquellos que, como cero, lo que no es realmente igual a al menos si la ecuación estaban equivocados. Pero si hay una regla que $z$ no es cero incluido de alguna manera debe haber una manera de conclusión habiendo $z$ no será cero está mal. Pero entonces revisé y encontré $a,b,c,z$ $z$ no cero, por lo que la desigualdad se cumple, así que estoy muy confundido. Tal vez las plazas son demasiado simples y que debería haber elegido un rectángulo o poner los cuadrados alrededor de la parte exterior del triángulo. Sé que un libro que demuestra esto, pero quiero tan sólo algunas pistas si mis acciones son las apropiadas para la resolución de este y de lo contrario, una pista de una nueva manera, ya que no me interesa para una clase simplemente me gusta pensar acerca de la cuestión.

Edit. He corregido (a+b+c)^2 creo. También estoy agradecido por la respuesta que le da una buena pista, y así como yo deseaba. Sin duda es una interesante elección de formas y diferentes de lo que yo estaba haciendo en que no hay espacios entre las formas. Ayuda a aclarar que estoy preguntando sobre las maneras en que el trabajo también estoy preguntando si un método que utiliza las brechas entre las formas y las estimaciones en lugar de exactitud podría funcionar como un enfoque (tal vez sólo porque me han pasado algunas horas y el deseo de recuperar algo de valor). Es la que se conoce? O tal vez la noción de agrupación de las pruebas en los enfoques es sólo porque la mente es sencilla y que no podemos hablar acerca de la exactitud de enfoques sólo si una prueba nos entregó es correcto o incorrecto.

Answer 1

Esta es mi favorita de la prueba del teorema de Pitágoras. El álgebra para esta prueba es muy fácil y sencillo, pero es más difícil ver las proporciones reales que se presentan en el teorema de Pitágoras, si quieres una prueba de que es clara desde el punto de vista visual, a continuación, me gustaría ver el Entramado de la prueba.

Desde un punto de vista de la geometría es importante que se tenga en cuenta por QUÉ son capaces de llegar a sus conclusiones, en sus pruebas. En la primera prueba que mencionar, nuestra prueba depende de ser capaz de demostrar que el rombo de lado c es en realidad un cuadrado. Somos capaces de hacer esto porque estamos suponiendo que la suma de los ángulos de un triángulo son 180 grados, y que es una consecuencia de Euclides 5º axioma. Este es el motivo por el teorema de Pitágoras falla para geometrías no euclidianas realizados.

Answer 2

Dibujar $AD\perp BC$.Ahora note que $\triangle ADC \sim \triangle BAC$ donde $\angle BAC=90^\circ$.A partir de la similitud, tenemos $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$ $AC^2=BC\cdot DC$(Aquí, usted necesita para expresar un ángulo como $\alpha$ y el otro ángulo en el que el triángulo con exclusión del derecho de ángulo de ahora va a ser $90^\circ-\alpha$).

Yo se lo dejo a usted demostrar que $AB^2=BC\cdot BD$.Sumando, obtenemos $AB^2+AC^2=BC^2$.

Observe que aquí estoy probando $a^2=b^2+c^2$, pero que es debido a la elección de $\angle A$ como el ángulo derecho.

Answer 3

Comience con cuatro triángulos, cada uno con lados 'a', 'b' y 'c'. Ponerlos en un cuadrado tal que el lado 'c' es siempre hacia el exterior. Por supuesto, el total de área de esta figura es c al cuadrado. Cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de ab / 2, por lo tanto, los cuatro de ellos en total tienen una superficie de 2ab. El cuadrado en el centro, si se mira de cerca, tiene lados de longitud b-a. Por lo tanto, el área total de esta figura (b-a) ** 2 + 2ab. Esto equivale a un ** 2 - 2ab + b ** 2 + 2ab. Los aspectos positivos y negativos se cancelan uno al otro, y nos hemos quedado con un cuadrado+ b al cuadrado.

Answer 4

Este es un caso especial de la Ley de los Cosenos, es decir, uno donde el coseno es cero debido a que el ángulo entre dos de los lados es de 90 grados. Ir de la Ley de los Cosenos, y al simplificar el caso específico de theta = 90 grados, a^2+b^2=c^2 la línea.