En busca de una simple prueba de que los grupos de orden $2p$ son hasta un isomorfismo $\mathbb{Z}_{2p}$$D_{p}$ .

Question

Estoy buscando una prueba simple que hasta un isomorfismo cada grupo de orden 2p (p primo) es $\mathbb{Z}_{2p}$ o $D_{p}$ (El Diedro grupo de orden 2p).

Debo señalar que por simple me refiero a corto y elegante, y no necesariamente de primaria. Así que siéntase libre de utilizar herramientas como los Teoremas de Sylow, Teorema de Cauchy y cosas similares.

Muchas gracias!

Answer 1

Ya que estamos permitido el uso de Sylow, podemos suponer $G$ es generado por $x,y$ $x^p=y^2=1$ donde $\langle x \rangle \lhd G$, lo $y^{-1}xy = x^t$ algunos $t$$1 \le t \le p-1$. A continuación,$x = y^{-2}xy^2 = x^{t^2}$, lo $p$ divide $t^2-1 = (t-1)(t+1)$, por lo tanto $p$ divide $t-1$ o $t+1$ y las únicas posibilidades son $t=1$ o $p-1$, dando el cíclico y el diedro grupos.

Answer 2

Puesto que el $2$-subgrupo de Sylow es cíclica, es decir, el grupo tiene un normal $2$-complemento (corolario de Burnside de transferencia del teorema), lo que significa que el $p$-subgrupo de Sylow es normal (o simplemente el uso que cualquier subgrupo de índice $2$ es normal). Por lo tanto, el grupo es un semidirect producto de un grupo cíclico de orden $p$ y uno de orden $2$. Desde el Automorphism grupo de el grupo cíclico de orden $p$ tiene un único subgrupo de orden $2$, esto significa que no sólo puede ser una no-triviales, tales semidirect producto, y desde $D_p$ es un semidirect producto, éste debe ser. Si el semidirect producto es trivial, que, por supuesto, conseguir que el grupo cíclico de orden $2p$.