Girando a $k$ -alrededor de un eje da un $(k+1)$ -manifold

Question

Quiero resolver el siguiente problema de Cálculo sobre M. Spivak:

Dejemos que $\mathbb{K}^n=\{x \in \mathbb{R}^n:x^1=0 \text{ and }x^2>0,\dots,x^{n-1}>0\}$ . Si $M \subseteq \mathbb{K}^n$ es un $k$ -y una variedad de dimensiones, y $N$ se obtiene girando $M$ alrededor del eje $x^1=\cdots=x^{n-1}=0$ , demuestran que $N$ es un $(k+1)$ de dimensiones. Ejemplo: el Torus (Figura 5-4).

Mi intento:

Al principio consideré el caso $n=3$ , donde $\mathbb{K}^3=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x=0,y>0\}$ .

para un punto $\mathbf{x}$ no en el $z$ eje considere el ángulo $\theta(\mathbf{x})$ que es la que se encuentra entre la proyección vectorial de $\mathbf{x}$ a la $[xy]$ plano y el positivo $x$ -eje (es el ángulo $\theta$ de coordenadas polares).

Ahora bien, como $M$ es $1$ -para cada una de las $p \in M$ existen conjuntos abiertos $U_p \ni p,V_p \subseteq \mathbb{R}^3$ y un difeomorfismo $h_p:U_p \to V_p$ tal que $h_p(U_p \cap M)=V_p \cap (\mathbb{R}^1 \times \{0\}^2 )$ .

Dejemos que $q \in N$ ser algún punto. Definir $$k_q(\mathbf{x}):=[R_z(\theta(\mathbf{x})) \circ h \circ R_z(-\theta(\mathbf{x}))](\mathbf{x})$$

donde $R_z$ es la matriz de rotación alrededor del $z$ -y una rama de $\theta$ se elige para que sea suave alrededor de $q$ . Diga $p$ es el punto (único) en $\mathbb{K}^3$ tal que $q$ es el resultado de una rotación de la misma alrededor del $z$ -eje. Si $U_p$ se toma

para ser una bola suficientemente pequeña alrededor de $p$ (para que no se cruce con el $z$ -), afirmo que $k_q$ es un difeomorfismo con dominio $\overline{U}_q:=R_z(\theta(q))[U_p]$ y codominio $\overline{V}_q:=k_q(\overline{U}_q)$ . También afirmo que

$$k_q(\overline{U}_q \cap N)=\overline{V}_q \cap (\mathbb{R}^2 \times \{0\}) .$$

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Ahora, tratando de generalizar esto a la arbitrariedad $n$ me parece difícil, ya que no tengo ni idea de cómo las rotaciones en $\geq 4$ dimensiones trabajan.

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Mis preguntas son:

1. ¿Es la prueba para $n=3$ ¿es válido? Si no es así, por favor ayúdeme a corregirlo.

2. ¿Cómo se puede demostrar el caso general?

Gracias.

Answer 1

Estoy seguro en un 99,9% de que el planteamiento del problema es erróneo.

1. La pregunta no tiene sentido para $n = 2$ .
2. Las órbitas de la "revolución" alrededor de un eje unidimensional en $\mathbb{R}^n$ son $n-2$ esferas dimensionales. Esto indica que para un $0$ -de las dimensiones de la colmena $M$ su rotación $N$ se convierte en $n-2$ dimensional que para $n > 3$ es estrictamente mayor que $1 = k+1$ .

Estoy seguro en un 99,9% de que el enunciado correcto del problema es el siguiente:

Dejemos que $n \geq 2$ y $\mathbb{K}^n = \{ x\in \mathbb{R}^n| x^1 = 0, x^2 > 0\}$ y que $M\subset \mathbb{K}^n$ ser un $k$ -submanifold de dimensiones. Demostrar que el conjunto $N$ obtenida al girar $M$ alrededor del eje $x^1 = x^2 = 0$ es un $k+1$ de dimensiones.

Tenga en cuenta que cuando $n = 3$ las dos formulaciones de los problemas coinciden. Obsérvese además que esta versión tiene sentido también para $n = 2$ . La noción de revolución es clara una vez que se restringe a un eje de co-dimensión 2: es la acción por las matrices

$$ R_{12}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin\theta & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ - \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & \vdots & & &\ddots & 0 \\ 0 & & \cdots & & 0 & 1\end{pmatrix} $$

y la prueba en 3D se traslada básicamente a dimensiones arbitrarias con muy pocas modificaciones. (De hecho, se puede empezar con la prueba en 2D y llevarla a dimensiones arbitrarias).

(Una prueba especialmente sencilla utiliza las coordenadas "cilíndricas" en $\mathbb{R}^n \setminus \{x^1 = x^2 = 0\}$ que es el mismo que el sistema de coordenadas euclidiano habitual, salvo que $(x^1,x^2)$ se sustituye por $(r = \sqrt{(x^1)^2 + (x^2)^2}, \theta = \arctan x^2/x^1)$ .)