Simpléctica colector, el flujo de $\phi_t$ generado por un único vector fiel a $X_f$ conserva la forma simpléctica $\omega$?

Question

Deje $M$ ser un simpléctica colector con forma simpléctica $\omega$, vamos a $f$ ser una función suave en $M$, y deje $X_f$ ser el único campo de vectores en $M$, de modo que $df(Y) = \omega(X_f, Y)$ para todos los campos vectoriales $Y$. ¿El flujo de $\phi_t$ generado por $X_f$ preservar $\omega$?

Answer 1

Voy a llamar a su campo de vectores $X$. Esto es suficiente para mostrar que la Mentira derivado $\mathcal L_X \omega = 0$ (¿por qué?) Para ello, utilice Cartan con la fórmula de la Mentira derivado de un formulario: $\mathcal L_X \omega = d\iota_X \omega + \iota_X d\omega = d\iota_X \omega$, debido a $\omega$ está cerrada; ahora por su asunción, $\iota_X \omega = df$, y como resultado de $d\iota_X \omega = ddf = 0$, como se desee.