Generalización de las EDO lineales a los espacios de Banach

Question

La forma más general de un PIV lineal que se consideró en mi curso es $$\dot x(t) = A(t)x(t)+b(t),\quad t\in J, \quad x(t_0)=x_0,$$ para $J$ un intervalo, $t_0\in J$ , $A\in C(J,\mathbb{R}^{m\times m})$ y $b\in C(J,\mathbb{R}^m)$ . La solución única se deriva utilizando las matrices fundamentales y se da como $$x(t) = X(t)\left(X^{-1}(t_0)x_0+\int_{t_0}^t X^{-1}(\tau)b(\tau)\operatorname{d}\tau\right)$$ con $X$ siendo una matriz fundamental.

Sin embargo, considerando la misma EDO en espacios generales de Banach, es decir $A\in C(J, \mathcal{L}(E))$ , $b\in C(J, E)$ , $E$ al ser un espacio de destierro, ¿cuál es el cambio? ¿Es $$(\star)\quad x(t) = e^{\int_{t_0}^t A(\tau)\operatorname{d}\tau}x_0 +\int_{t_0}^t e^{\int_{\tau}^t A(s)\operatorname{d} s}b(\tau)\operatorname{d}\tau$$ ¿la solución única para el PIV? Entiendo que la posibilidad de que el espacio de soluciones sea de dimensión infinita prohíbe el uso de matrices fundamentales. ¿Se utilizan las matrices fundamentales sólo para dar respuestas concretas a PIVs concretos?

Como he trabajado a través de ODE's lineales con constantes $A\in\mathcal{L}(E)$ en los espacios de banqueo, ¿cuál es la diferencia que viene de esos ODE? ¿Qué se convierte en falso después de reemplazar " $(t-t_0)A$ " por " $\int_{t_0}^tA(\tau)\operatorname{d}\tau$ "?

Answer 1

Sí, sigue siendo la solución única. Los mismos argumentos que funcionaron en el caso de dimensión finita siguen funcionando, ya que el principio de contracción de los mapas es cierto en espacios métricos completos arbitrarios. (No utiliza Heine-Borel.) Sí utilizamos la compacidad de los intervalos cerrados en $\mathbb{R}$ Sin embargo, para obtener los límites de Lipschitz necesarios en el campo vectorial $A$ . A continuación doy una prueba completa.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $J \ni 0$ . Supongamos que $K$ es un subintervalo compacto de $J$ que contiene $0$ . Entonces, los mapeos $A \restriction_{K} : K \to \mathcal{L}(E)$ y $b \restriction_{K} : K \to E$ están acotados, ya que sus rangos son compactos. Consideremos la solución de la cartografía $$\Phi \quad : \quad \alpha \mapsto \alpha(0) + \int_{0}^{t} \left(A(s)\alpha(s) + b(s)\right) \, ds.$$
Necesitamos definir un rango para $\Phi$ . Podemos hacer esto como en el caso de dimensión finita. Supongamos que la condición inicial que nos interesa es $x_{0} \in E$ y establecer $R = 2 \|x_{0}\|$ . Establecer $\ell_{1} = \frac{1}{2 \|A\|_{K}}$ , donde $\|A\|_{K} = \max \{\|A(t)\| \, \mid \, t \in K\}$ , y establecer $\ell_{2} = \frac{R}{2} \cdot \left(2 R\|A\|_{K} + \|b\|_{K}\right)^{-1}$ con $\|b\|_{K} = \max\{\|b(t)\| \, \mid \, t \in K\}$ . Dejemos que $\ell = \min\{\ell_{1},\ell_{2},L(K)\}$ , donde $L > 0$ satisface $[-L,L] \subseteq K$ . Dejemos que $\mathscr{C} = \{\alpha \in C([-\ell,\ell],E) \, \mid \, \alpha(0) = x_{0}, \, \, \|\alpha\|_{C([-\ell,\ell],E)} \leq R\}$ , donde $\|\alpha\|_{C([-\ell,\ell],E)} = \max\{\|\alpha(t)\| \, \mid \, t \in [-\ell,\ell]\}$ .

Afirmamos que $\Phi : \mathscr{C} \to \mathscr{C}$ es una cartografía de contracción bien definida. Dado que $\mathscr{C}$ es un subconjunto cerrado de un espacio de Banach, es un espacio métrico completo. Por lo tanto, el principio de la cartografía de contracción implica que hay un punto fijo único $\tilde{\alpha} \in \mathscr{C}$ que satisface $$\forall t \in [-\ell,\ell] \quad \tilde{\alpha}(t) = \tilde{\alpha}(0) + \int_{0}^{t} (A(s) \tilde{\alpha}(s) + b(s)) \, ds.$$
Como el integrando es continuo, $\tilde{\alpha} \in C^{1}([-\ell,\ell],E)$ y $\frac{d \tilde{\alpha}}{d t} = A(t) \tilde{\alpha}(t) + b(t)$ . Por unicidad, la fórmula de Duhamel que has proporcionado es la solución (al menos en $[-\ell,\ell]$ ). Queda por demostrar $\mathscr{C}$ está bien definida y es una cartografía de contracción.

Primero, mostramos que está bien definido. Si $t \in [-\ell,\ell]$ y $\alpha \in \mathscr{C}$ entonces \begin {align*} \left\ | \alpha (0) + \int_ {0}^{t} \left (A(s) \alpha (s) + b(s) \right ) \N -, ds \right\ | & \leq \|\alpha (0)|| + ||A|_{K} \int_ {0}^{t} \| \alpha (s)\| \N-, ds + \int_ {0}^{t} |b(s)| |, ds \\ & \leq \frac {R}{2} + \left (\|A|_{K} R + \|b|_{K} \right ) \ell \\ & \leq \frac {R}{2} + \left (\|A|_{K} R + \|b|_{K} \right ) \ell_ {2} \\ & \leq R. \end {align*} Esto muestra $\Phi$ es un operador bien definido en $\mathscr{C}$ .

A continuación, para ver que $\Phi$ es un mapeo de contracción, observe que, si $\alpha,\beta \in \mathscr{C}$ y $t \in [-\ell,\ell]$ entonces \begin {align*} \| \alpha (t) - \beta (t)\| &= \left \|\int_ {0}^{t} A(s)( \alpha (s) - \beta (s)) \N -, ds \right \| \\ & \leq |A\\|_{K} \int_ {0}^{t} \| \alpha (s) - \beta (s)|| \N-, ds \\ & \leq |A\\|_{K} \ell \|\alpha - \beta\ |_{C([- \ell , \ell ],E)} \\ & \leq \frac {1}{2} \| \alpha - \beta\ |_{C([- \ell , \ell ],E)}. \end {align*} Por lo tanto, $\|\Phi(\alpha) - \Phi(\beta)\|_{C([-\ell,\ell],E)} \leq \frac{1}{2} \|\alpha - \beta\|_{C([-\ell,\ell],E)}$ , que prueban la afirmación.

Lo anterior demuestra que podemos encontrar una solución única en $[-\ell,\ell]$ . Sin embargo, la elección de $\ell$ funciona de manera uniforme en $K$ por lo que podemos repetir el mismo argumento para extender la solución a $[\ell,2 \ell]$ , $[2 \ell, 3 \ell]$ y así sucesivamente, siempre que $[n \ell, (n + 1) \ell] \subseteq K$ . Así, podremos resolver la EDO de forma única en $K$ . Desde $J$ es igual a la unión de sus subintervalos compactos, esto da la unicidad en el intervalo original $J$ .

Una pregunta cuya respuesta desconozco pero sobre la que hay literatura es el caso de la EDO $\dot{x} = Ax$ , donde $A$ es un operador lineal no limitado. Puede que merezca la pena estudiar esto si estás familiarizado con el análisis funcional, ya que las ecuaciones diferenciales parciales pueden estudiarse desde este punto de vista.