Este es un problema de un libro que enseña los fundamentos de la escritura de pruebas. Es un ejercicio que supone que tengo conocimientos suficientes para poder resolver el problema. Pero me siento atascado en este momento.
Suponiendo que $F$ es un conjunto de conjuntos y $\cap F$ es la intersección de todos los miembros de $F$ .
Hasta ahora he podido reescribir la conclusión $ \cap F = \emptyset$ en términos de cuantificadores. La idea es que no existe un $x$ , de tal manera que $x \in \cap F$ (equivalente a $\forall S (S \in F \rightarrow x \in S)$ ). Entonces traigo la negación dentro: $$ \neg \exists x \forall S (S \in F \rightarrow x \in S),$$ $$ \forall x \neg \forall S (\neg S \in F \vee x \in S),$$ $$ \forall x \exists S \neg (\neg S \in F \vee x \in S),$$ $$ \forall x \exists S (S \in F \wedge \neg x \in S).$$
Así que ahora tengo que demostrarlo: $$ \emptyset \in F \rightarrow \forall x \exists S (S \in F \wedge \neg x \in S).$$
Tal vez exista la posibilidad de reescribir la hipótesis del teorema $\emptyset \in F$ en términos de cuantificadores, pero no creo que pueda hacerlo.
También intenté demostrar el contrapositivo pero no me llevó a ninguna parte, porque no sé cómo llegar a $\emptyset \notin F$ .
