Teorema 7.2 en Topología General de S. Willard (caracterización de la continuidad mediante $f(\overline E) \subset \overline{f(E)}$

Question

Teorema 7.2

Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos y $f:X \to Y$ , entonces las siguientes son todas equivalentes :-

I) $f$ es continua.

II) para cada $E \subset X$ , $f(\bar E) \subset \overline{f(E)}$ .

Prueba:- (II) $\implies$ (I)

Dejemos que $x\in X$ y que $V$ sea una vecindad abierta de $f(x)$ .

Set $E = X-f^{-1}(V)$ y $U=X-\bar E$ .

Es fácil comprobar que, dado que $f(\bar E) \subset \overline{f(E)}$ tenemos $x \in U $ .

Está aún más claro que $f(U)\subset V$

Por lo tanto, $f$ es continua en $x$

No entiendo esta parte de la prueba. No puedo entender cómo $x\in U$

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Supongamos que $x\notin U$ entonces $x\in\bar{E}$ y por lo tanto $f(x)\in f(\bar{E})\subseteq\overline{f(E)}\subseteq\overline{f(X)\cap(X\setminus V)}\subseteq\overline{X\setminus V}$ por definición de $E$ . Por lo tanto, cada barrio de $f(x)$ toca $X\setminus V$ y también $V$ (ya que $f(x)\in V$ ). Esto significa que $f(x)$ está en el límite de $V$ . Pero como $V$ está abierto el límite de $V$ es igual a $\bar{V}\setminus V$ y en particular disjuntos de $V$ - una contradicción con $f(x)\in V$ .

Answer 2

Supongamos que $x \in \bar{E}$ es decir, $x \notin U $ . Entonces, como $f(\bar{E}) \subset \bar{f(E)}$ , $f(x) \in \bar{f(E)}$ . Esto implicaría que $V \cap f(E) \ne \varnothing $ lo que contradice la definición de $E$ . Por lo tanto, $x \in U $ .