Son números naturales siempre se establece en la teoría de conjuntos?

Question

El caso de $0 \subseteq \emptyset$: Si definimos los números naturales de la forma como se establece a continuación, tenemos $$0=\emptyset$$and $$\emptyset \subseteq \emptyset$$ and therefore $$0=\emptyset \subseteq \emptyset.$$

El caso de $2 \subseteq A$: De la misma manera, podemos ver $2$ como un conjunto que es $$2=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}.$$ As an example, given $$A=\{0,1\}$$ we have $$A=2$$ and therefore $$2=2\subseteq 2 =A.$$

Pregunta: ¿tenemos siempre necesidad de ver a un número natural como un conjunto en la teoría de conjuntos? Podemos decir que `$2$ es un número, no un conjunto, por lo tanto no puede ser un subconjunto'?

Answer 1

En la educación formal de las matemáticas tiene que comenzar en algún lugar con (esencialmente) indefinido nociones rige por los axiomas.

En la mayoría de las bases comunes, el indefinido concepto es un conjunto, y que todo es un conjunto, casi por definición. Hay otras maneras de desarrollar la matemática contemporánea que dependen de otras nociones.

Si usted está interesado principalmente en la aritmética y teoría de números puede utilizar un conjunto de axiomas (postulados de Peano), donde el "número" es, de hecho, la primitiva indefinido noción, cuyo comportamiento se rige por los axiomas.

Answer 2

En el normal desarrollo de la teoría de conjuntos axiomática utilizamos conjuntos para representar todos los objetos matemáticos queremos razón, incluyendo los números. Esta es una elección, no es algo que intrínsecamente tiene que ser así.

Una alternativa sería desarrollar los axiomas de la teoría de conjuntos en una forma que permite urelements - cosas que pueden ser elementos de conjuntos, pero no son en sí mismos conjuntos -- y entonces podríamos extender la teoría con los axiomas que afirman que algunos de estos urelements pasar a comportarse como los números; que no es un conjunto de todos los números y los conjuntos que representan la suma y la multiplicación de las funciones y así sucesivamente.

Normalmente no está hecho de esa manera, porque el principal interés en la escritura completamente formal de conjuntos de axiomas es investigar los límites de lo que se puede probar en todo lugar de la conducta particular de las pruebas en el sistema. Para este propósito es técnicamente conveniente tener tan pocos axiomas como podemos conseguir lejos con -- dado que la puramente conjunto teórico axiomas resultan ser suficientes para construir todo lo demás en la parte superior de cuando la necesitamos, sería un peso muerto para llevar adicionales axiomas de los números en particular.

Answer 3

En un enfoque común el uso de las superestructuras uno puede tomar lo que uno quiere ser "atómica" de los elementos, a decir de los números reales, y construir el conjunto teórico universo a partir de ahí. Si la colección se inicia con un conjunto de base, a continuación, se puede definir una superestructura de rango similar a la de von Neumann en el rango de enfoque de partida con el conjunto vacío que usted describe.