Las medianas de un triángulo son concurrentes: demostrar mediante el teorema de intersección de Cantor

Question

Este problema es de Un ProblemaTexto en Cálculo Avanzado por J. M. Erdman (Cap. 16: El teorema de Heine-Borel , p. 91).

Utilice el Teorema de la intersección de Cantor para demostrar que el medianas de un triángulo son concurrentes.

Este es el problema que más me ha sorprendido del texto completo. ¿Alguna sugerencia?

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Aquí está el enunciado del teorema que debemos utilizar:

Teorema (teorema de la intersección de Cantor). Si $(A_n)$ es una secuencia anidada de subconjuntos acotados cerrados no vacíos de $\mathbb R^n$ entonces $\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n$ es no vacía. Además, si $\operatorname{diam} A_n \to 0$ entonces $\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n$ es un solo punto.

Mis pensamientos.

Por supuesto, conozco algunas pruebas estándar de este resultado (utilizando geometría plana o vectores). Pero en este caso, tenemos que utilizar el teorema de intersección de Cantor.

Fijar un triángulo arbitrario $\triangle$ . Al principio empecé con $A_1 := \triangle$ . Mi objetivo era suponer que las medianas no son concurrentes, y derivar una contradicción. Está claro que si las medianas no son concurrentes, entonces forman un minitriángulo dentro de $A_1$ . ¿Debo definir ese triángulo como $A_2$ y proceder recursivamente para definir $A_3, A_4, \ldots$ ? Esta idea es la única que se me ocurre. Sin embargo, no me parece suficiente: no veo que surja ninguna contradicción de la conclusión de que la intersección de todas las $A_n$ es no vacío (o un conjunto único).

¿Puede sugerir un enfoque mejor?

Answer 1

Intenta aplicar el teorema de intersección de Cantor a los triángulos formados por los puntos medios de las aristas.

Si $ABC$ es su triángulo, entonces $A_1:=A, B_1:=B, C_1:=C$ y por inducción $A_{i+1}$ es el punto medio de $B_iC_i$ ; $B_{i+1}$ es el punto medio de $A_iC_i$ , $C_{i+1}$ es el punto medio de $A_iB_i$ ...

El punto fijo del Teorema debe ser $G$ . Debería seguirse inmediatamente del hecho de que $A_iA_{i+1}$ es la mediana en ambos $A_iB_iC_i$ y $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}$ .