$(\infty,1)$-categorías y modelo de categorías

Question

He leído varias veces que $(\infty,1)$-categorías (débil Kan complejos, en especial simplicial conjuntos) son una generalización del concepto de categorías de modelo. ¿Qué significa esto? Se puede asociar un $(\infty,1)$-categoría a un modelo de la categoría sin perder la información en el co/fibrations? Cómo? ¿Por qué es el $(\infty,1)$-categoría punto de vista el mejor?

$(\infty,1)$-categorías son equivalentes a simplicial categorías (enriqueció a lo largo de simplicial conjuntos). Esto se describe en Lurie mayor topoi. Un simplicial modelo de la categoría es en particular un simplicial categoría. Es esta la forma en que funciona la asociación? Cada modelo de la categoría es Quillen equivalente a un simplicial modelo de la categoría y por lo tanto puede ser enriquecida a través simplicial conjuntos.

Sería bueno si alguien me podría ayudar a aclarar esto.

Edit: Gracias a todos por las respuestas. A mí me parece que $(\infty,1)$-categorías son no una generalización del concepto de categorías de modelo. Un modelo de la categoría es más que una categoría $C$ junto con una clase de mapas de $W$ tal que $C[W^{-1}]$ es una categoría. Un modelo de estructura de datos en una categoría $C$ contiene la información sobre lo que un cofibration y lo que es un fibration es. Esto es importante para la estructura. Existen diferentes estructuras de modelo con el mismo homotopy categoría como por ejemplo las estructuras del modelo en functor categorías.

Esto significa que si hay un tipo de functor $$ F: \{\mbox{categorías de modelo de}\} \\{\mbox{($\infty,1)$-categorías}\} $$ es, al menos, no una incrustación. A pesar de las respuestas, todavía no veo cómo este functor (si es que realmente es un functor) obras. Donde es un modelo de la categoría asignada a?

Answer 1

Sobre todo me remito a mi respuesta aquí y también esta pregunta.

Para responder a la pregunta acerca de (co)fibrations: No, no existe la noción correspondiente a la (co)fibration en la (∞,1)-categoría asociada a un modelo de la categoría. Después de todo, ser (co)fibration no tiene homotopical información: cada mapa es equivalente a una (co)fibration. Para el tipo de cosas que usted necesita el (co)fibrations a definir en el modelo de categorías, tales como homotopy (co)límites, se puede dar directamente las definiciones en términos de asignación de espacios en la (∞,1)-categoría.

Hay dos sensible a las nociones de "identidad" de categorías de modelo: categórica de equivalencia, por que me refiero a una equivalencia de categorías que conserva cada una de las tres clases de flechas, y Quillen equivalencia. Esto se parece mucho a la diferencia entre dos objetos en un modelo de la categoría de ser isomorfo o simplemente débilmente equivalente, aunque no creo que nadie tiene un marco en el que para hacer esta idea precisa. Cuando se considere la posibilidad de, digamos, la proyectiva y la inyectiva las estructuras del modelo en un diagrama de categoría, estas estructuras son Quillen equivalentes, pero no de manera categórica equivalente. Tienen diferentes 1-categórica propiedades (es fácil describir la izquierda Qullen functors de la proyectivas de la estructura del modelo y a la izquierda Quillen functors en el inyectiva estructura del modelo), pero el modelo de la misma homotopy teoría. El paso a asociados (∞,1)-categorías elimina la distinción categórica entre equivalencia y Quillen equivalencia: dos categorías de modelo se Quillen equivalentes si y sólo si sus asociados (∞,1)-categorías son equivalentes. (En realidad, no estoy seguro de si hay algunas condiciones técnicas necesarias para la última afirmación, pero si es así están satisfechos en la práctica).

Answer 2

Usted tiene el sentido básico correcta. En un modelo de la categoría de cualquier par de objetos tiene una función de espacio de mapas entre ellos. Sin embargo, es posible definir esta función espacio mucho más la generalidad.

Dada una categoría C con una subcategoría W < C con los mismos objetos, que consiste en una colección de mapas que uno quiere hacer en isomorphisms, Dwyer y Kan definido en determinadas circunstancias, un "simplicial localización" de C, que es un functor de C a una categoría LC enriquecido en simplicial conjuntos. Si C tiene un modelo de estructura de categorías, a continuación, este recupera los espacios de mapas que describen la venida del modelo de estructura de categorías.

El modelo de la categoría podría ser visto como una herramienta para recuperar la asignación de los espacios y de los asociados a $(\infty,1)$-categoría de una manera más constructiva, como la categoría LC es generalmente muy grande.

Answer 3

El functor $F$ usted está buscando puede ser descrito de la siguiente manera. Dado un modelo de la categoría $M$, con clase de la debilidad de equivalencias $W$, uno puede asociar a una $\infty$categoría $M_\infty$, equipado con un mapa de $M \to M_\infty$, que se caracteriza por el universal siguiente propiedad: Para cada $\infty$categoría $D$, el natural mapa $$Fun(M_\infty,D) \to Fun(M,D)$$ es totalmente fiel, y sus esenciales de la imagen es atravesado por los functors $M \to D$ que envían $W$ a equivalencias.

El $\infty$categoría $M_\infty$ pueden ser construidos de la siguiente manera: Construcción de la Hamaca de la localización de la $L^H(M,W)$ $M$ con respecto al $W$, que es un simplicial categoría. El $\infty$categoría $M_\infty$ luego puede ser obtenida por la toma de la coherencia de los nervios de cualquier fibrant modelo de $L^H(M,W)$ (con respecto a la Bergner estructura del modelo). Nos referimos a

http://arxiv.org/abs/1311.4128

para el de arriba universal de los bienes.

Tenga en cuenta que los trabajos de construcción de cualquier categoría relativa, es decir, una categoría equipado con una subcategoría de la debilidad de equivalencias que contiene todos los objetos. Llamamos a este procedimiento de $\infty$-localización.

Morfismos de categorías de modelo están dadas por Quillen pares: $$F:M\rightleftarrows N:R.$$ De acuerdo a la Proposición 1.5.1 en el papel por encima, cada Quillen par como en el anterior induce un adjunto par de $\infty$-categorías: $$F_\infty:M_\infty\rightleftarrows N_\infty:R_\infty.$$ Se puede demostrar que un Quillen equivalencia va a una equivalencia de $\infty$-categorías por esta construcción.

Por lo que considerar la categoría de modelo de categorías de izquierda y de Quillen functors entre ellos. Esto es en realidad una categoría relativa, donde el débil equivalencias son las Quillen equivalencias. La anterior construcción define una relación functor de esta categoría relativa a la categoría de pariente de $\infty$-categorías (débil Kan-los complejos y el simplicial mapas entre ellos) con el débil equivalencias siendo las equivalencias de $\infty$-categorías. Esta relativa functor debe ser un derivado completamente fieles de la incrustación de la $\infty$-categoría de categorías de modelo (en el sentido de la $\infty$-localización de arriba) en la $\infty$-categoría de $\infty$-categorías y a la izquierda adjoints entre ellos. (Tal vez hay algunas delicadas cuestiones técnicas aquí que yo soy la supresión.)