La solución de una ecuación trigonométrica

Question

Estoy de resolver esta ecuación:

$$\sin(3x) = 0$$

El ángulo es igual a 0, por lo tanto:

$$3x=0+2k\pi \space\vee\space3x= (\pi-0)+2k\pi$$

$$x = \frac {2}{3}k\pi \space \vee \space x = \frac {\pi + 2k\pi}{3}$$

Sin embargo, la respuesta es

$$x = k\frac {\pi}{3}$$

Parece que las dos ecuaciones trigonométricas se han combinado en uno solo. Debo de haber cometido un error. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Todo lo que necesitamos es $3x$ a ser un múltiplo entero de $\pi$. En otras palabras

$$3x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{3}$$

Answer 2

No estás perdiendo de nada: a veces es posible combinar de manera eficaz los conjuntos de soluciones.

Observe que para $\sin x=0$, las soluciones $x=0+2k\pi$ ($0$ y luego "agregar círculos completos') $\vee \; x=\pi+2k\pi$ ($\pi$ y luego "agregar completa de los círculos") puede ser combinado $x=k\pi$ ($0$ y añadiendo la mitad de los círculos"), donde siempre se $k \in \mathbb{Z}$.

Dibujar las soluciones y darse cuenta de que no estás 'falta' de cualquier cosa: de las dos formas de escribir las soluciones que contienen exactamente los mismos ángulos; 'ejecutar a través de' los mismos ángulos.

Anexo

Esto no es siempre posible para ecuaciones de la forma $\sin x = c$ (sólo si $c=k\pi$) o $\cos x = c$ (sólo si $c=\pi/2+k\pi$), pero es siempre posible para $\tan x = c$ desde las soluciones $$x = \arctan c + 2k\pi \, \vee x = \pi + \arctan c + 2k\pi$$alwayes ser combinado $$x = \arctan c + k\pi$$ Usted puede ver fácilmente que esta dibujando un trigonométricas en el círculo y la visualización de las soluciones.

Answer 3

Sus soluciones son: $$ x = \frac{\pi}{3}(2k),\phantom{NNNNNNNN} x = \frac{\pi}{3}(2k + 1). $$ Así, se ha demostrado que la $x$ es $\frac{\pi}{3}$ veces un entero par, o de lo $\frac{\pi}{3}$ veces un entero impar. En otras palabras, $x$ $\frac{\pi}{3}$ veces un número entero.