¿Y si una conjetura fuera indemostrable?

Question

Supongamos que encontramos una prueba de que " La conjetura de los primos gemelos no se puede demostrar", sin que se concluya que la conjetura en sí sea verdadera o falsa.

¿Es posible entonces que la conjetura sea verdadera? o, ¿debe entonces la conjetura ser falsa por alguna razón? o, ¿debe esta prueba de incomprobabilidad ser defectuosa?

(Estoy usando este ejemplo específico para ayudar a entender si alguna conjetura simple similar podría ser demostrablemente indemostrable. Tengo mis dudas sobre si una conjetura simple puede ser indemostrable, ya que, en lugar de sacar conclusiones para un número infinito de entradas como hace el Teorema de Halting, aquí estamos hablando de una sola conclusión verdadera/falsa).

Answer 1

Hay un problema importante con las afirmaciones de la forma " $X$ es incomprobable": en qué sistema es $X$ ¿improbable? Asumimos aquí que $X$ es una declaración coherente escrita en un lenguaje formal.

Los enunciados demostrables sin axiomas no lógicos se conocen como validaciones lógicas. Pocos enunciados matemáticos interesantes se formulan como validaciones lógicas. Así que el hecho de que $X$ es indemostrable sin axiomas no lógicos dice muy poco sobre $X$ . Por otro lado, si $T$ es la conjunción de algún conjunto finito de axiomas suficiente para demostrar $X$ entonces $T \to X$ es una validez lógica.

¿Y si $X$ es indemostrable a partir de un conjunto mayor de axiomas no lógicos? Eso nos dice principalmente que esos axiomas no son lo suficientemente fuertes para demostrar $X$ . En otras palabras, el hecho de que $X$ es indemostrable a partir de un conjunto de axiomas a menudo nos habla tanto de $X$ y sobre ese sistema de axiomas . Mientras $X$ es consistente, siempre podríamos elegir un conjunto más fuerte de axiomas consistentes que sea capaz de demostrar $X$ (por ejemplo, podríamos tomar $X$ como un axioma).

En muchos ejemplos concretos, lo indemostrable de $X$ de algún sistema de axiomas nos dice más sobre el sistema de axiomas que nos dice sobre $X$ . Por ejemplo, el principio combinatorio en Teorema de Goodstein es indemostrable en la aritmética de Peano. El principal interés de esto es que, cuando miramos realmente el resultado, nos muestra algo nuevo sobre la demostrabilidad en la aritmética de Peano. También nos ayuda a entender el principio combinatorio más profundamente, pero en este caso ya tenemos una muy buena comprensión del principio combinatorio que viene de su demostración en ZFC.

Este es un patrón común en la lógica matemática. Cuando examinamos la prueba de que un principio es indemostrable en un sistema concreto, a menudo nos dice tanto o más sobre el sistema que sobre el principio, sobre todo cuando examinamos intensamente la prueba de indemostrabilidad para intentar extraer el método general.

Answer 2

Si una conjetura X es indemostrable se puede traducir en lo siguiente:

si X es verdadero no se puede derivar ninguna contradicción

si X es falso no se puede derivar ninguna contradicción

Ambas deben ser verdaderas porque, de lo contrario, X no sería indemostrable (podríamos simplemente elegir uno de los caminos apropiados y encontrar eventualmente una contradicción)

Dicho esto, es evidente que el valor de verdad/falsedad de X es independiente del sistema de prueba que se utilice.

Así que una vez que algo se ha convertido en indemostrable en un sistema fijo de matemáticas. No tiene sentido preguntar si la afirmación es verdadera o falsa en ese mismo sistema.

Espero que esto aclare un par de cosas :)