Entiendo que un dominio integral $D$ se dice que es integralmente cerrado en $S$ si siempre que un elemento $s \in S$ puede considerarse como una raíz de un polinomio con coeficientes en $D$ debe estar en $D$ .
Sin embargo, aparentemente $\mathbb Z$ es integralmente cerrado en $\mathbb Q$ lo cual no entiendo, ya que seguramente dado cualquier $\frac{a}{b} (a, b \in \mathbb Z$ ), es la raíz del polinomio $bx - a$ y sin embargo $\frac{a}{b}$ puede no estar en $\mathbb Z$ .
¿En qué me he equivocado?
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Deberías releer la definición de dominio integral integralmente cerrado. Requiere que el polinomio sea mónico.
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@Xam ¿Por qué queremos que sea mónico? ¿Qué tipo de idea representa el cierre integral?
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@user399625 Ese requisito extra nos permite aislar un subring interesante dentro de un campo de fracciones. En un campo de números el cierre integral de $\Bbb{Z}$ conserva suficiente información sobre la divisibilidad. Por ejemplo, todos los primos "sobreviven" (pero mutilados de diversas formas) como ideales. Hacerlo "a tu manera" no daría nada útil porque un argumento similar al tuyo demuestra que cualquier raíz de cualquier polinomio con coeficientes racionales es también un cero de un polinomio con coeficientes enteros (basta con multiplicar los denominadores de los coeficientes).
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(cont.) En un entorno geométrico, tomar el cierre integral de un anillo de coordenadas suele crear objetos con mejor comportamiento que comparten el mismo campo de funciones (en el caso de las curvas, conduce a una variante suave, pero creo recordar que ya no es suficiente para la suavidad en dimensiones superiores). En cualquier caso, exigir que los polinomios sean mónicos crea un concepto útil. De la otra forma no.
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Esto puede o no tener importancia para su consulta de hoy, pero $b \neq 0$ ¿verdad?
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@RobertSoupe Sí, $b$ no es $0$ .
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Sólo una comprobación, antes de que alguien sea grosero con usted por una omisión tan insignificante.