La teoría final en Física: ¿una prueba de existencia matemática?

Question

Hace algún tiempo, leí algo así sobre la cuestión de "una teoría final" en Física:

"Con respecto a las leyes físicas, tenemos varias posiciones como científicos

1. No hay leyes físicas fundamentales. En el nivel más elemental, el Universo/Multiverso es esencialmente caótico y anárquico. No existen tales leyes.

2. Hay una secuencia continua de teorías cada vez más precisas, pero no hay una teoría final. La física estará siempre evolucionando de una teoría aproximada a otra más grande y más precisa. Al final, también podremos encontrar una teoría mejor y niveles adicionales de complejidad o realidad.

3. Hay una teoría final que lo explica todo, y la encontraremos si y sólo si:

   i) Somos lo suficientemente inteligentes como para encontrar dicha teoría. ii) Hacemos unas matemáticas lo suficientemente buenas y sofisticadas. iii) Adivinamos los axiomas/principios/ideas correctos. iv) Interpretamos los datos correctamente y probamos la putativa teoría final con los instrumentos/experimentos adecuados. "

Suponiendo que 3) sea el enfoque correcto...

Pregunta: ¿Cómo podríamos demostrar la mera existencia matemática de dicha teoría? ¿No evadiría el teorema de incompletitud de Gödel de alguna manera ya que, como Teoría del Todo, estaría explicando "todo" y aunque debería ser matemáticamente autoconsistente? ¿Cómo podría una Teoría del Todo ser un contraejemplo del teorema de Gödel si es así, o no?

Nota: La aludida unificación de acoplamientos en las teorías supersimétricas es un indicio de "unificación" de fuerzas, pero no estoy seguro de que cuente como condición suficiente para la existencia de una teoría final.

Complementario: ¿Es cierto que Hawking ha cambiado su opinión sobre esta cuestión?

RESUMEN:

1') ¿Existe una teoría final de la física? La cuestión de la existencia debería estar ligada a algunas de sus propiedades notables (probables).

2') ¿Cómo podríamos demostrar su existencia o refutarla y, por tanto, demostrar que el único camino de la Física es una secuencia infinita de teorías cada vez más precisas o que el Poliverso es aleatorio y/o caótico en el nivel más fundamental?

3') ¿Cómo afectan 1') y 2') a los teoremas de Gödel?

Siempre he creído, ya que Fismática=Física+Matemáticas (E.Zaslow, Instituto Clay) es más grande que la mera suma que el reto de la teoría final debería ofrecer probablemente alguna pista sobre cómo "evadir" algunos de los teoremas de Gödel. Por supuesto, esta última idea es muy controvertida y especulativa en este momento.

Answer 1

Este es un interesante cuestionamiento, más que pregunta, ya que no estoy la pregunta planteada, ya que hay demasiados temas cuestionados o cuestionables

Creo que es diferente, pero muy relacionado con una pregunta anterior con respecto a la la comprobabilidad física de la tesis de Church-Turing que dice que cualquier dispositivo de computación que se pueda construir no computará más que lo que es computable por una máquina de Turing.

Un problema de la tesis Church-Turing es que el concepto de prueba en una teoría axiomática es fundamentalmente la lo mismo que el concepto de programa de ordenador es decir, una máquina de Turing. Esto no es en el sentido de que un programa pueda producir teoremas y pruebas, como en Presentación de Ron Maimon de la prueba de Gödel sino porque un programa puede ser "leído" como una prueba de su especificación (" Dado un valor x tal que P(x) se cumple, existe un resultado y tal que Q(x,y) es válido. ") y a la inversa, una prueba puede leerse como un programa que realmente computa lo que dice el teorema. Esta presentación es, por supuesto versión muy simplificada de un resultado de Curry y Howard (1980) que todavía se investiga.

De ahí una cuestión importante con las posibles limitaciones de la calculabilidad, si hay tales limitaciones físicas o no, y si podemos demostrar o no la existencia de tales limitaciones, es que las pruebas matemáticas están directamente afectadas por las mismas limitaciones. Un aspecto crucial de tales limitaciones, que abordaré que abordaré a continuación, es el carácter denumable de los procesos intelectuales.

Podemos asumir, debemos asumir, que nuestra forma de hacer matemáticas, incluyendo las teorías físicas, es consistente. Esto es realmente (al menos para mí) una visión física de la misma: encontramos inconsistencias, normalmente llamadas paradojas, pero se resuelven (han sido hasta ahora) como las inconsistencias experimentales en la física, mediante el perfeccionamiento de las teorías y la evolución de los conceptos para superar la dificultad y plantear los problemas adecuadamente.

Asumir que las matemáticas son esencialmente consistentes es esencial, porque todo lo que podamos demostrar no debería ser cuestionado por futuras extensiones, si es que son físicamente posibles, de los conceptos de calculabilidad o demostrabilidad.

Ahora bien, algunos resultados hacen suposiciones profundas que no siempre son obvias de interpretar. En el caso del resultado de incompletitud de Gödel, un aspecto importante aspecto es que las fórmulas lógicas, los teoremas y las pruebas pueden codificarse como enteros. Esto significa que nuestros sistemas de deducción lógica son fundamentalmente entidades denumbrables (como las máquinas de Turing). Si Si resulta que un avance en la física nos permite tratar sistemas no numerables, entonces los resultados que se basan en esta denumbrabilidad estarían en cuestión. Este es precisamente el caso del resultado de incompletitud de Gödel, como se ha dicho (posiblemente podría volver en otra forma).

Abordé este aspecto de la desnumerabilidad en mi respuesta a la pregunta sobre la comprobabilidad física de la tesis de Church-Turing . En aquel momento, esta respuesta se basaba enteramente en mi comprensión informal de estas cuestiones. Con la intención de mejorar un poco mi respuesta, busqué algo de literatura, y el tema es actualmente objeto de investigación activa. Aunque mi conocimiento de esta literatura sigue siendo más que superficial, parece que mi intuición era correcta, que un tratamiento adecuado del carácter fundamentalmente discreto (o denumable) de la calculabilidad, y la demostrabilidad, es esencial en el estado actual de la técnica, para derivar las tesis de Church-Turing de las leyes de la física, y que la continuidad o los números reales son una cuestión importante.

Un enfoque que he mirado (me limito a los artículos en acceso abierto en la web) se basa en asumir una propiedad específica del mundo físico, presentada como dual de la limitación de la velocidad de la luz y de la información, que es una limitación de la densidad espacial de la información, ambas limitaciones juntas aseguran la limitación de la densidad en el espacio-tiempo. La traducción de esta nueva ley en términos físicos puede ser realmente sutil para dar cuenta de varias leyes físicas existentes. Esto aparentemente excluye el uso no regulado de los números reales.

Si esta ley de densidad limitada se verifica realmente, creo que también significaría que el teorema de Gödel es también una consecuencia de las leyes físicas.

Otra cosa es que una ley de densidad de información tan limitada se verifique realmente. Si no lo es, entonces las puertas quedan abiertas para una extensión de los conceptos de calculabilidad y demostrabilidad.

En tal caso, suponiendo que nuestras matemáticas sean por lo demás consistentes, todos los resultados demostrables seguirían siendo demostrables, pero podríamos ser capaces de demostrar nuevos teoremas que eran verdaderos pero no demostrables en el entorno denumable clásico.

Así que la respuesta a la pregunta si una teoría del Todo podría eludir el teorema de incompletitud de Gödel depende en gran medida de lo que Todo es ya que en realidad determina el contexto en el que la calculabilidad o la demostrabilidad deben ser definidas. ¿Incluiría una teoría del Todo una ley que limitara la densidad de información?

Nótese que incluso siendo válido el resultado de Gödel, podría existir la posibilidad de una teoría del Todo, en la que todos los hechos verdaderos relativos al universo serían efectivamente verdaderos. Sólo que no se podría demostrar que el universo mantendría algún misterio para que nos preguntemos en las noches estrelladas).

Por otro lado, no podría haber tal teoría del todo. Pero, ¿cuál sería la definición última de una teoría definición de una teoría si la física nos permitiera cuestionar el carácter discreto del lenguaje en el que se expresan?

Por lo demás, aparte de tomar el 42 como respuesta definitiva, sólo puedo sugerir salir de la matriz para obtener la Verdad sobre nuestro mundo, o leer el Simulacro-3.

Answer 2

Existe el punto de vista platónico/pitagórico, de que las matemáticas existen en un espacio de ideas que la naturaleza cumple. En este caso, las pruebas matemáticas también tienen un significado para las observaciones.

Por otro lado, existe la opinión de que nunca se puede demostrar que las teorías matemáticas que modelan la naturaleza son correctas, sólo pueden ser validadas por los datos o falsificadas incluso por un dato.

La respuesta a su resumen depende de la orientación filosófica del que responde.

RESUMEN:

1') ¿Existe una teoría final de la física? La cuestión de la existencia debería estar ligada a algunas de sus propiedades notables (probables).

En algún momento, cuando aprendía mecánica cuántica era de la escuela platónica: que las matemáticas son una matriz que la naturaleza cumplirá. Después de años haciendo experimentos soy de la segunda opinión, que cuanto más escarbamos más encontramos que no puede ser modelado por la última teoría; es una tarea interminable.

2') ¿Cómo podríamos demostrar su existencia o refutarla y, por tanto, demostrar que el único camino de la Física es una secuencia infinita de teorías cada vez más precisas o que el Poliverso es aleatorio y/o caótico en el nivel más fundamental?

En mi opinión, una teoría nunca se puede demostrar, sólo se puede validar con datos, así que esta pregunta no tiene respuesta.

3') ¿Cómo afectan 1') y 2') a los teoremas de Gödel?

En mi opinión, al tratarse de una búsqueda abierta de teorías matemáticas para describir datos, el teorema se cumple.

Answer 3

La física presupone las matemáticas. Así que cualquier "Teoría Final de la Física" también tendría que presuponer las Matemáticas para que tuviera eficacia. Por lo tanto, dado que esta "Teoría Final" debe presuponer las Matemáticas, no puede demostrar (o refutar) la validez de las Matemáticas. Del mismo modo, las Matemáticas presuponen la validez de la Lógica, por lo que las Matemáticas no pueden demostrar (o refutar) la validez de la Lógica. Por lo tanto, la Física no puede demostrar (o refutar) la validez de la Lógica o de las Matemáticas. Como la Física no puede probar (o refutar) todas las leyes metafísicas (como la Lógica o las Matemáticas), por lo tanto la Física es incompleta.

Ahora bien, podría decirse que eso es simplemente matemática y lógica, metafísica, no física, lo cual es cierto, salvo que cualquier cosa física es necesariamente también metafísica, ya que todo lo que existe realmente, puede pensarse que existe. La física es un subconjunto de la metafísica. Podemos imaginar muchas cosas, incluso cosas imposibles, que no existen realmente, pero nada que exista realmente no puede ser "no imaginado", lo experimentemos o no directamente. El dominio de todo lo físico debe ser un subconjunto del dominio de todo lo metafísico. Por lo tanto, si la física es incompleta metafísicamente, también debe ser incompleta físicamente, ya que la física es un subconjunto de la metafísica. Por lo tanto, tenemos buenas razones para creer que una "Teoría Final de la Física" debe ser incompleta.

A pesar de estas buenas razones para creer que "La Teoría Final de la Física" debe ser incompleta, supongamos, por el bien del argumento, que tal teoría existiera, y fuera tanto consistente como completa, contradiciendo ambos Teoremas de Incompletitud de Gödel; tal teorema podría entonces demostrar su propia consistencia, la pregunta sería "¿Cómo de complejas serían las pruebas que implican este teorema? ¿Probar la consistencia o la completitud de esta "Teoría Final de la Física" sería un problema NP-completo? ¿Y qué hay de demostrar tanto la consistencia como la completitud?

Son posibles los siguientes:

Opción 1. Existe una "Teoría Final de la Física" que es consistente y completa.

Aunque ya hemos demostrado que no puede ser completa, hemos asumido lo contrario. Sabemos que hay problemas físicos en la Mecánica Cuántica que son de dificultad NP-Completa, así que si fuera una Teoría Final y completa, demostrar esto también sería un problema de dificultad NP-Completa ya que demostrar algunas de sus partes lo son. Un razonamiento similar muestra que demostrar su consistencia también sería NP-Completo, así que demostrar que esta teoría es completa y consistente llevará más allá de la edad del universo.

Opción 2. Existe una "Teoría Final de la Física" consistente, pero no completa, con las siguientes posibilidades:

2.1. Probar la consistencia de esta teoría es un problema NP-completo, por lo que efectivamente no es demostrable (al menos no en la edad del universo)

2.2. Probar la consistencia de esta teoría no es un problema NP-completo y es demostrable en una cantidad de tiempo finita.

Si miramos a 2.2, ya hemos demostrado que, dado que existen problemas NP-completos en la Mecánica Cuántica, que serían partes de la Teoría Final, demostrar la consistencia de la teoría es un problema NP-completo, lo que contradice nuestra presuposición en 2.2. Así que la opción 2.2 es imposible.

Opción 3. Existe una "Teoría Final de la Física", que es completa, pero no consistente.

Dado que la teoría en esta opción no es consistente, podríamos tanto demostrar como refutar que es completa, una contradicción. Cualquier teoría que se contradiga a sí misma es inútil como teoría. La "teoría final" de esta opción es inútil.

Opción 4. No existe una "Teoría Final de la Física" completa, pero existen aproximaciones agregadas cada vez mejores que son consistentes, pero no completas, que nos dan una mejor comprensión de las leyes de la física a lo largo del tiempo (estoy asumiendo que las leyes de la física son universales, ya que la no universalidad de las leyes físicas es otro tema completamente distinto).

¿Qué podemos concluir de esto? Podemos concluir que aunque exista una Teoría Final consistente, va a ser imposible demostrar que es la 'Teoría Final', sea o no completa. Así que realmente no hay forma de saberlo una vez que hayamos descubierto la 'Teoría Final'.

Answer 4

Mi idea de una teoría final es que todas las posibles situaciones experimentalmente realizables tendrán una respuesta calculable a partir de los principios básicos de manera lógica. No creo que esto viole el teorema de Godel de ninguna manera. Por ejemplo en cualquier situación de la geometría plana tendrá una respuesta precisamente calculable en ese sentido es completa.