Profundamente confundido acerca de $\sqrt[5]{a^5}=(a^5)^{1/5}$

Question

Así es esto correcto?

$\sqrt[5]{a^5} = \left(a^5\right)^{\frac{1}{5}}$

Necesito una prueba de por qué $\left(a^5\right)^\frac{1}{5}$ puede o no puede ser $a^\frac{5}{5}$ o sólo $a$?

Pienso que la regla de

$\left(a^m\right)^n = a^{m·n}$ y claramente $a = \left(a^5\right)^\frac{1}{5}$ es falso

Lo de la regla, o lo que evidencia que puedo siempre demostrarme a mí mismo que nunca esta confusión de nuevo?

así que ¿por qué no se puede simplemente multiplique $\left(a^5\right)^\frac{1}{5}=a^\frac{5}{5}$? Causa fracciones? Ok. Necesito confirmación.

Si $\sqrt[5]{a^5} = \left(a^5\right)^{\frac{1}{5}}$ es correcta, entonces es $\left(a^x\right)^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^x}^m$ también?

Odio a la confusión y haciendo las mismas matemáticas errores dos veces.

verdaderamente apreciado

Answer 1

Es conocido por $n \geq 0,m>0, a\geq 0$:

$$\sqrt[m]{a^n}=(a^{n})^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{n}{m}}$$

Así: $$\sqrt[5]{a^5}=a^{\frac{5}{5}}=a$$

Answer 2

Utilice la definición de la $x^y$ $x>0$, $x^y:=e^{y\ln x}$

Para $a>0$,$$(a^5)^{\tfrac{1}{5}}=e^{\tfrac{1}{5}\ln(a^5)}=e^{\tfrac{5}{5}\ln(a)}=e^{\ln(a)}=a$$

Para $a=0$, esta definición puede ser extendida continuamente: $0^{\dfrac{1}{5}}=0$ (pero no diferenciable en a $0$).

Para $a<0$, una definición compleja puede ser considerado.

EDITAR:

No sólo es escribir la definición de un buen hábito, también deja claro acerca de donde cada variable en vivo, que parece estar causando el problema.

Answer 3

Creo que la razón por la que usted está confundido es porque usted piensa que usted está equivocado acerca de algo, cuando en realidad estás en lo correcto!

$(a^5)^{1/5}$ es sólo $a$. De hecho, todas las expresiones de la lista en tu pregunta son iguales: $\sqrt[5]{a^5} = (a^5)^{1/5} = a^{5/5} = a^1 = a$.

Se preguntó: "¿por Qué no se puede simplemente multiplique..." y la respuesta es, usted puede simplemente multiplique.

Sin EMBARGO: Todo esto viene con una gran advertencia. En general, este tipo de manipulación sólo funciona si $a$ es positivo. Si $a$ es negativo, y si los exponentes de los involucrados son, incluso, cosas extrañas pueden suceder.

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EDIT: Ahora que he visto tu último comentario, creo que el problema no tiene nada que ver con exponentes o raíces... tiene que ver con paréntesis. Le preguntó:

Mi primer pensamiento es (32a^5)^1/5 = 5º SQRT(32a^5). Entonces yo uso la regla anterior, para obtener 32a^5/5 = 32a . ¿Por qué es que el uso y el mal, y ¿cómo se puede borrar confusiones en el futuro, si la respuesta es de 2a?

El problema es que usted se olvidó de que la quinta raíz de la operación se aplica a todos los de $32a^5$. Así que lo que tienes no es $32a^{5/5} = 32a$ sino $(32a^5)^{1/5}=2a$, debido a que la quinta raíz de $32$$2$.

Answer 4

Recuerden $$\sqrt[n]a: =a^{\frac1n},$$ $$(a^r)^s=a^{rs}.$$ donde $n$ es un número entero y $r, s$ son reales. Esto es suficiente para manejar todos los casos. (En realidad, $n$ puede ser real, pero esto es inusual con la raíz de la notación.)

Así, $$\sqrt[n]{a^m}=(a^m)^{\frac1n}=a^{m\cdot\frac1a}=a^{\frac mn}=a^{\frac1n\cdot m}=(\sqrt[n]a)^m.$$

Al $n=m$, todos estos igualdad de $a^1=a$.

ACTUALIZACIÓN: Usted también tiene $$(ab)^r=a^rb^r,$$ que se puede aplicar con la raíz de la notación: $$\sqrt[n]{a^mb^m}=\sqrt[n]{(ab)^m}=(ab)^{\frac mn}=a^{\frac mn}b^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{b^m}=(\sqrt[n]a)^m(\sqrt[n]b)^m.$$