La aproximación de un positivo Sobolev función positiva de las funciones lisas

Question

Aquí hay un problema que me he encontrado en la PDE libro varias veces. Pero nunca he visto una prueba de ello. Voy a estar muy agradecido si alguien me podría dar una prueba.

Pregunta: Vamos a $B$ ser la unidad de bola en $\mathbb{R}^n$, $f$ un no-negativo de la función en $H_0^1(B)$, demostrar que existe una secuencia de no negativo funciones de $\varphi_k\in C_c^\infty(B)$ tal que $\varphi_k\rightarrow f$$H_0^1(B)$.

Edit: Lo que si reemplazamos $B$ por un dominio general,$\Omega$?

Edit II: Gracias a Hans idea (que debería funcionar para cualquier forma de estrella de dominio), si el límite de $\Omega$ adecuadamente (por ejemplo, se admite finito cubriendo de forma de estrella abierta conjuntos), entonces el uso de la partición de la unidad, debemos ser capaces de construir la aproximación deseada.

Edición III: Si yo no cometí ningún error. L. C. Evans Ecuaciones Diferenciales Parciales (Primera Edición) página 260 da una prueba para $C^1$ dominio. A pesar de que él era realmente probar algo más, el ingrediente principal de las obras en nuestra situación!

Answer 1

Deje $\psi$ ser un estándar de no-negativo positivo mollifier, $C^\infty$, apoyado en la unidad de la bola en $\mathbb{R}^n$,$\int_{\mathbb{R}^n} \psi = 1$. Definir $\psi_k(x) = k^n \psi(kx)$ como de costumbre. Extender $f$ trivialmente fuera de la unidad de la pelota y definir $\tilde f_k(x) = f(kx/(k-1))$ todos los $x$$K > 1$. Esta función ahora es compatible con el balón con el radio de $1 - k^{-1}$ y es no negativo y en $H^1_0$. Mostrar que $\tilde f_k \to f$$H^1_0$. (Es suficiente para mostrar la debilidad de la convergencia en $L^2$ y la convergencia de la norma, ya que estamos trabajando en un espacio de Hilbert.)

A continuación, definir
$$ \varphi_k(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \psi_k(x-y)\tilde f_k(y) dy $$ como de costumbre. A continuación,$\varphi_k$$C^\infty$, apoyado en la unidad de la bola, y no negativo. Aplicar un triángulo desigualdad argumento para demostrar que $\varphi_k \to f$$H^1_0$.

Answer 2

Se te mezclen con las definiciones?

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser abierto. $H^{1}_0(\Omega)=H^{1,2}_0(\Omega)$ $\mathbf{defined}$ a ser el cierre de $C^{\infty}_c(\Omega)$ $W^{1,2}(\Omega)$ norma, que es la norma que $H^{1,2}_0(\Omega)$ hereda.

Por lo tanto, $f\in H^{1,2}_0(\Omega)$ si y sólo si existe una secuencia $(\varphi_n)$ $C^{\infty}_c(\Omega)$ tal que $\varphi_n\longrightarrow f$$H^{1,2}_0(\Omega)$, por definición.

I. e. cada función en $H^{1,2}_0(\Omega)$ es una función en $C^{\infty}_c(\Omega)$, o es el límite de alguna secuencia en $C^{\infty}_c(\Omega)$, en virtud de la $W^{1,2}(\Omega)$ norma.

No hay nada que demostrar.