El uso de Vieta la fórmula para evaluar $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_1}$

Question

El uso de la ecuación cúbica $ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$,

$$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a},$$ $$x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a},$$ $$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a},$$

¿Cómo se podía evaluar $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_3}{x_1}$?

Edit: estoy en un punto en la actualidad: $$\frac{x_1^2x_3 + x_1x_2^2 + x_2x_3^2}{x_1x_2x_3}$$

y no sé cómo separar el único $x_1, x_2, x_3$ a partir de la fracción.

Answer 1

Deje $r,s,t$ ser las raíces. Por simplicidad, escribir $B=-b/a=r+s+t$, $C=c/a=st+tr+rs$, e $D=-d/a=rst$. Deje $p= \frac{r}{s}+\frac{s}{t}+\frac{t}{r}$ e $q=\frac{s}{r}+\frac{t}{s}+\frac{r}{t}$. A continuación, $$p+q=\frac{r^2(s+t)+s^2(t+r)+t^2(r+s)}{rst}.$$ $$pq=3+\frac{r^4st+s^4tr+t^4rs+s^3t^3+t^3r^3+r^3s^3}{r^2s^2t^2}.$$ Es decir, $$p+q=\frac{BC-3D}{D}$$ y $$pq=3+\frac{C^3+B^3D-6BCD+6D^2}{D^2}=\frac{C^3+B^3D-6BCD+9D^2}{D^2}.$$ Por lo tanto, $p$ e $q$ son las raíces de $$x^2-\frac{BC-3D}{D}x+\frac{C^3+B^3D-6BCD+9D^2}{D^2},$$ que es el mismo que $$x^2+\frac{3ad-bc}{ad}x+\frac{9a^2d^2-6abcd+ac^3+b^3d}{a^2d^2}.$$

Por ejemplo, $B=6$, $C=11$, e $D=6$ dar $$x^2-8x+\frac{575}{36}=\left(x-\frac{23}{6}\right)\left(x-\frac{25}{6}\right).$$ De hecho, $\{r,s,t\}=\{1,2,3\}$, lo $$\{p,q\}=\left\{\frac12+\frac23+\frac31,\frac21+\frac32+\frac13\right\}=\left\{\frac{25}{6},\frac{23}{6}\right\}.$$

Answer 2

Usted puede considerar la posibilidad de $$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_2} + \frac{x_1}{x_3}$$ La suma y el producto de este y su expresión son simétricas. Así que usted puede evaluar el uso de $a, b, c, d$. Así que esta vez las cosas son raíces del polinomio de grado 2 con coeficientes expresados por $a, b, c, d$.