Ejemplo de una secuencia $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ $f_n \to f$ de manera uniforme, pero tal que $f \not \in L^1(\mathbb{R})$ $\int f_n \not \to \int f$

Question

Para la práctica, estoy trabajando a través de algunos de los ejercicios en Folland "Análisis Real: Modernas Técnicas y Sus Aplicaciones."

En el Capítulo 2, el Ejercicio 19, Folland pide secuencias de funciones $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ $f_n \to f$ de manera uniforme, pero de manera tal que una de las conclusiones a las $f \in L^1(\mathbb{R})$ o $\int f_n \to \int f$ falla. Me pueden encontrar ejemplos de cada una conclusión fallando, pero parecen no encontrar un solo ejemplo donde ambos conclusiones fallar de la siguiente manera:

¿Qué es un ejemplo de una secuencia de funciones de $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ $f_n \to f$ de manera uniforme, pero tal que $\int f = \pm \infty$ (con lo que quiero decir que exactamente uno de $\int f^+$ o $\int f^-$$+\infty$) y también se $\int f_n \not \to \int f$?

Mis ejemplos:

(1) $f_n(x) = \frac{1}{x}\chi_{(1,n)}(x)$. El límite uniforme $f(x) = \frac{1}{x}\chi_{(1,\infty)}(x)$$\int f = +\infty$. Sin embargo, también tenemos $\int f_n = \log(n) \to \infty = \int f$.

(2) $f_n(x) = \frac{1}{n}\chi_{(0,n)}(x)$. Tenemos $\int f_n = 1 \not \to \int f = 0$, pero ahora $\int f = 0 \neq \pm \infty$.

Me siento como que me estoy perdiendo algo muy evidente aquí. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sólo se necesita modificar el primer ejemplo:

Tome $f(x)={1\over x}\cdot\chi_{[1,\infty)}$ $n$ un entero positivo, definir $f_n(x)= {1\over x}\cdot\chi_{[1,n]} + {-1\over n}\cdot\chi_{(n, n+ n\ln n )}$.

Entonces

$\ \ \ 1)\ \int_{\Bbb R} f=\infty$,

$\ \ \ 2)\ (f_n)$ converge a $f$ de manera uniforme, ya que $\Vert f_n-f\Vert_\infty=2/n$,

y

$\ \ \ 3)\ $por cada $n$ tenemos $\int_{\Bbb R} f_n=0$.