Emparejar $\{1..2n\}$ que las sumas de cada par son diferentes primos.

Question

Emparejar $\{1..2n\}$ que las sumas de cada par son diferentes primos. He encontrado 9 ejemplos:

$\{(1,2)\},$

$\{(1,2),(3,4)\},$

$\{(1,2),(3,4),(5,6)\},$

$\{(1,4),(2,5),(3,8),(6,7)\},\{(2,3),(1,6),(4,7),(5,8)\},$

$\{(1,4),(2,5),(3,8),(6,7),(9,10)\},\{(2,3),(1,6),(4,7),(5,8),(9,10)\},$

$\{(1,4),(2,5),(3,8),(6,7),(9,10),(11,12)\},\{(2,3),(1,6),(4,7),(5,8),(9,10),(11,12)\}.$

¿Hay algún otro ejemplo como éste?

Answer 1

No hay más. No hay para $n=7$ . Necesitaríamos que las sumas fueran siete primos Impares distintos por debajo de $27$ . Lo máximo que puede ser la suma de estas sumas es $5+7+11+13+17+19+23=95$ pero la suma de todos los números hasta $14$ es $105$ .

Para $n=8$ necesitaríamos la suma de ocho primos por debajo de $31$ para ser $120$ . Sólo podemos hacerlo con $3,5,11,13,17,19,23,29$ . Necesitamos $1+2$ para conseguir $3$ pero no puede conseguir $5$ .

Para $n=9$ necesitamos todos los primos hasta $31$ excepto $2,5$ pero luego $1+2=3,3+4=7,5+5=11$ y estamos atrapados por $13$ .

Para $n=10$ necesitamos todos los primos hasta $37$ excepto $2,5$ y el $n=9$ la prueba funciona.

Para $n=11$ necesitamos todos los primos hasta $43$ excepto $2,7,11$ o $2,5,13$ . Podemos hacer $21+22=43$ pero no puede conseguir $41$ .

Para $n=12$ la suma de todos los primos hasta $43$ es $271$ mientras que la suma de los números hasta $24$ es $276$

Ahora que va de $n$ a $n+1$ la suma de los números aumenta en $4n+3$ mientras que la suma de los primos aumenta en $4n+1, 4n+3,$ o $8n+4$ . Como menos de $\frac {2\cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 7} \lt \frac 12$ son primos, la suma de los primos nunca alcanzará. $n=13$ no añade ningún nuevo primo porque los números Impares añadidos son $49,51$ y de nuevo fallamos en $n=19$ . Cada intervención $n$ sólo ha añadido una prima.