Como se explicó anteriormente, esta respuesta es simplemente para llenar los vacíos en coffeemath la respuesta.
Cada uno y cada ángulo tiene una única medida en $[0,2\pi[$. Esto nos permite definir un mapa de ${\sf arg} : \Omega \to [0,2\pi[$ donde $\Omega={\mathbb R}^2 \setminus \lbrace 0 \rbrace$.
El conjunto $\Omega \setminus (S_{ab} \cup S_{cd})$ tiene dos componentes conectados :
$$
C_1=\bigg\lbrace M \in \Omega \ \bigg| \ {\sf arg}(M) \in [d,2\pi[ \copa [0,a] \bigg\rbrace \ \text{y} \ C_2=\bigg\lbrace M \in \Omega\ \bigg| \ {\sf arg}(M) \[b,c] \bigg\rbrace
$$
Tome $P\in C_1$$Q\in C_2$. Deje $\beta : [0,1] \to {\mathbb R}^2$ unirse a $P$$Q$. Vamos a mostrar que el $\beta$ debe intersectar $\gamma_1$ o $\gamma_2$, y que, por ende, $P$ $Q$ no se encuentran en la misma ruta de componentes conectados de ${{\mathbb R}^2} \setminus (\gamma_1(I)\cup \gamma_2(I))$. Si $\beta$ pasa por el origen, entonces la intersección $\gamma_1$ y hemos terminado. Así que de ahora en adelante suponer que $\beta$ no pasa a través de $O$.
Paso 1 : podemos suponer que ${\sf arg} ( P )=a,{\sf arg}(Q)=b$ $\beta(]0,1[) \subseteq S_{ab}$.
Deje $F_1=\lbrace t \in [0,1] | \beta(t) \in C_1 \rbrace$. A continuación, $0\in F_1$ $F_1$ es cerrado en $[0,1]$. Por lo tanto, $F_1$ contiene $t_1={\sf sup}(F_1)$. Si $\beta(t_1)$ se encontraban en el interior de $C_1$, entonces tendríamos $t_1+\varepsilon \in F_1$ para las pequeñas suficiente $\varepsilon$, lo cual es imposible. Por lo $\beta(t_1)$ debe estar en el límite de $C_1$. Igualmente, os $F_2=\lbrace t \in [t_1,1] | \beta(t) \in C_2 \rbrace$. A continuación, $1\in F_2$ $F_2$ es cerrado en $[0,1]$. Por lo tanto, $F_2$ contiene $t_2={\sf inf}(F_2)$. Si $\beta(t_2)$ se encontraban en el interior de $C_2$, entonces tendríamos $t_2-\varepsilon \in F_2$ para las pequeñas suficiente $\varepsilon$, lo cual es imposible. Por lo $\beta(t_2)$ debe estar en el límite de $C_2$.
El uso de la transformación afín $\beta'(t)=\beta(t_1+(t_2-t_1)t)$, vemos que podemos asumir que $P$ se encuentra en el límite de $C_1$, $Q$ se encuentra en el límite de $C_2$, e $I=\beta(]0,1[) \subseteq S_{ab} \cup S_{cd}$. Desde $I$ está conectado, debemos tener $I \subseteq S_{ab}$ o $I \subseteq S_{cd}$. En este último caso, hemos de intercambio de $c,d$$a,b$, que finaliza el Paso 1.
Como en coffeemath la respuesta, hay números de $r,R$ $0 \lt r \lt R$ $\beta([0,1])$ está incluido en el anillo
$$
A_{r,r}=\lbrace M \in \Omega | r \leq OM \leq R \rbrace
$$
Desde $\gamma_1$ se estira, hay valores de $t_3$ $t_4$ tal que $X_1=\gamma_1(t_3)$ satisface $OX_1 \leq r$ $X_2=\gamma_1(t_4)$ satisface $OX_2 \geq R$. Tenemos entonces un continuo $\rho : [0,1] \to \Omega$ tal que $\rho$ es una subruta de $\gamma$ (es decir, la imagen de $\rho$ está incluido en la imagen de $\gamma$), y $\rho(0)=X_1,\rho(1)=X_2$. Será suficiente para demostrar que $\beta$ intersecta $\rho$.
Procediendo como en el paso 1, vemos que
Paso 2 : podemos suponer que $OX_1=r,OX_2=R$ $\rho(]0,1[)$ está incluido en el interior de $A_{r,R}$.
Estas rutas de $\beta$ $\rho$ toma sus valores en el conjunto compacto $T_{a,b}=\lbrace M \in \Omega | r \leq OM \leq R, a \leq {\sf arg}(M) \leq b \rbrace$. Ya tenemos un homeomorphism entre el $[0,1]^2$ $T_{ab}$ (definido por $(x,y) \mapsto (r+(R-r)x).(\cos(a+(b-a)y),\sin(a+(b-a)y)) $), por lo que será suficiente para demostrar (una vez más) de los siguientes (conocida) lema :
"Un punto en cada borde de un cuadrado" lema. Deje $ABCD$ ser un cuadrado. Deje $p_1$ ser una ruta en la plaza de unirse a un punto de $[AB]$ a un punto de $[CD]$, e $p_2$ ser otra ruta en la plaza de unirse a un punto de $[AC]$ a un punto de $[BD]$. A continuación, $p_1$ $p_2$ se cruzan.
La prueba del lema Supongamos por contradicción que $p_1(s) \neq p_2(t)$ cualquier $(s,t)\in [0,1]^2$. Entonces, podemos definir un mapa
$$
\Phi : [0,1]^2 \S^1, (s,t) \mapsto \frac{p_1(s)-p_2(t)}{||p_1(s)-p_2(t)||}
$$
Por el théorème du relèvement ("pullback teorema" en inglés? por desgracia parece ser que no existe versión en inglés de la wikipedia en francés de la página), no es un mapa continuo $\phi : [0,1]^2 \to {\mathbb R}$ tal que $\Phi(s,t) =(\cos(\phi(s,t)),\sin(\phi(s,t)))$ cualquier $(s,t)\in [0,1]^2$.
Hay un número entero $k$ tal que $\phi(0,0)\in [2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi]$. La sustitución de $\phi$$\phi-2k\pi$, podemos suponer $k=0$.
A continuación,$\phi(0,0) \in [-\frac{\pi}{2},0]$.
Pie de $p_2(0)$$p_2(1)$, podemos ver que $\phi(0,1) \in [0,\frac{\pi}{2}]$.
Pie de $p_1(0)$$p_1(1)$, podemos ver que $\phi(1,1) \in [\frac{\pi}{2},\pi]$.
Pie de $p_2(1)$$p_2(0)$, podemos ver que $\phi(1,0) \in [\pi,\frac{3\pi}{2}]$.
Pie de $p_1(1)$$p_1(0)$, podemos ver que $\phi(1,1) \in [\frac{3\pi}{2},2\pi]$, contradicción. qed
