$W^{1,p}_0 \cap C^\infty \subset C^\infty_0$?

Question

Es cierto: $W^{1,p}_0 \cap C^\infty \subset C^\infty_0$? Si esto es cierto, ¿cómo demostrarlo? Si no, ¿qué es un contra-ejemplo?

Notación: Denotar $C^\infty_0$ el conjunto de todos los reales valores de función suave $f$ en $\mathbb R$ tal que $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=0$, y denotan $C^\infty_c$ el conjunto de todos los reales valores de función suave $f$ en $\mathbb R$tal de que el apoyo de $f$ es compacto.

Por último, defina $W^{1,p}_0$ es la culminación de $C^\infty_c$ con respecto a la Sobolev norma $||\cdot||_{W^{1,p}}$

Answer 1

Esto es cierto. Tome $f\in W^1_p(\mathbb R) \cap C^\infty(\mathbb R)$. Permítanme asume por simplicidad que $f(x)=0$ todos los $x<0$. Desde $f$ $W^{1,p}(\mathbb R)$ tiene $$ \|f\|_{W^{1,p}}^p = \int_{\mathbb R} |f|^p + |f'|^p dx =\sum_{n=1}^\infty \int_{n-1}^n |f|^p + |f'|^p dx < \infty. $$ Esto demuestra $$ \int_{n-1}^n |f|^p + |f'|^p dx \a 0 $$ para $n\to\infty$. Ya para $I=(0,1)$ el espacio $W^{1,p}(I)$ es continuamente incrustado en $C(\bar I)$, se deduce $\|f\|_{C([n-1,n])} \to 0$, por lo tanto $$ \lim_{|x|\+\infty} f(x)=0. $$