Deje que$(R,M)$ sea un anillo local. Supongamos que$R$ es noetheriano y deje que$I,J \unlhd R$ sea tal que$J \subseteq I$. Demostrar que los siguientes son equivalentes.

Question

Deje $R$ ser un anillo local con ideal maximal $M$.

Supongamos que $R$ es noetherian y deje $I,J$ ser ideales de $R$ tal que $J \subseteq I$.

Considere las siguientes declaraciones:

1) Cada conjunto mínimo de generadores de $J$ puede ser extendido a un conjunto mínimo de generadores de $I$

2) $MI \cap J = MJ$

3) No existe $L \unlhd R$ tal que $\frac{I/J}{L(I/J)}$ es un servicio gratuito de $R/L$-módulo de e $LI \cap J = LJ$

4) (número mínimo de generadores de $I$) = (número mínimo de generadores de $J$) + (número mínimo de generadores de $I/J$)

Quiero demostrar que la $1) \Rightarrow 2)$$3) \Rightarrow 4)$.

De hecho, ahora solo quiero demostrar que $3) \Rightarrow 4)$ debido a la @Rafael Holanda respuesta.

La idea es demostrar que todas estas afirmaciones son equivalentes, y de hecho me resultó $2) \Rightarrow 3)$$4) \Rightarrow 1)$.

Más ideas: las secuencias $$0 \rightarrow \frac{J}{IL \cap J} \rightarrow \frac{I}{IL} \rightarrow \frac{I}{IL+J} \rightarrow 0$$ $$0 \rightarrow \frac{IL+J}{IL} \rightarrow I \otimes \frac{R}{L} \rightarrow \frac{I}{J} \otimes \frac{R}{L} \rightarrow 0$$ $$0 \rightarrow \frac{J}{IL \cap J} \rightarrow \frac{I}{IL} \rightarrow \frac{I/J}{L(I/J)} \rightarrow 0$$ son exactas (observación de que la 3ª es con conocidas isomorphisms).

No tengo ni idea de cómo hacerlo, alguien me puede ayudar con esto?

Gracias!

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo local. Denotamos por a $\mu_R(M)$ el número mínimo de generadores de un finitely generadas $R$-módulo. Este resulta ser $\dim_{R/\mathfrak m}M/\mathfrak mM$ donde $\mathfrak m$ denota el ideal maximal de a $R$. Si $\mathfrak a$ es un ideal de $R$, $\mathfrak a\subseteq\mathfrak m$, a continuación, $\mu_R(M)=\mu_{R/\mathfrak a}(M/\mathfrak aM)$ (żpor qué?).

1) $\Rightarrow$ 2) Deje $x_1\dots,x_m$ ser un sistema minimal de generadores en $J$. Esto es equivalente a $\overline x_1,\dots,\overline x_m$ $R/\mathfrak m$- base en $J/\mathfrak mJ$. Ahora defina $\varphi:J/\mathfrak mJ\to I/\mathfrak mI$$\varphi(\overline a)=\widehat a$. Desde allí es $y_1,\dots,y_n$ $I$ tal que $x_1\dots,x_m,y_1,\dots,y_n$ es un sistema minimal de generadores de $I$ tenemos que $\widehat x_1\dots,\widehat x_m,\widehat y_1,\dots,\widehat y_n$ $R/\mathfrak m$- base en $I/\mathfrak mI$. Esto demuestra que $\varphi$ es inyectiva (por qué?), por lo $\ker\varphi=(0)$, $J\cap\mathfrak mI=\mathfrak mJ$.

2) $\Rightarrow$ 3) Set $L=\mathfrak m$.

3) $\Rightarrow$ 4) Deje $x_1,\dots,x_m$ ser un sistema minimal de generadores en $J$. Deje $y_1,\dots,y_n\in I$ ser tal que sus clases de forma un $R/\mathfrak a$-base en $I/(\mathfrak aI+J)=\dfrac{I/J}{\mathfrak a(I/J)}$. También son un sistema minimal de generadores de $I/J$ y, a continuación, $x_1\dots,x_m,y_1,\dots,y_n$ es un sistema de generadores para $I$. Vamos a mostrar que este es mínimo.

Desde $\mathfrak aI\cap J=\mathfrak aJ$ tenemos una breve secuencia exacta $$0\to J/\mathfrak aJ\to I/\mathfrak aI\to I/(\mathfrak aI+J)\to 0.$$ But $I/(\mathfrak aI+J)$ is a free $R/\mathfrak un$-module, so the sequence is split. Then $$\mu_{R/\mathfrak a}(I/\mathfrak aI)=\mu_{R/\mathfrak a}(J/\mathfrak aJ)+\mu_{R/\mathfrak a}(I/(\mathfrak aI+J)),$$ so $\mu_R(I)=\mu_R(J)+\mu_R(I/J)$, y hemos terminado.

4) $\Rightarrow$ 1) Supongamos $\mu(I)=\mu(J)+\mu(I/J)$ y deje $x_1,\dots,x_m$ ser un sistema minimal de generadores de $J$ $\overline y_1,\dots,\overline y_m$ un sistema minimal de generadores de $I/J$. A continuación, $x_1\dots,x_m,y_1,\dots,y_n$ es un sistema de generadores para $I$ y es mínimo, puesto que la $\mu(I)=m+n$.

Answer 2

$1)\Rightarrow 2)$

Está claro que $MJ\subseteq J$. Ya que $J\subseteq I$, $MJ\subseteq MI$. Por lo tanto $MJ\subseteq MI\cap J$. Deje que$\{r_{1},...,r_{j}\}$ sea un conjunto mínimo de generadores de$J$. Luego hay$r_{j+1},...,r_{n}\in I$, de modo que$\{r_{1},...,r_{n}\}$ es un conjunto mínimo de generadores de$I$. Para todos los$x\in MI\cap J$ hay$m_{x}\in M, a_{x1},...,a_{xn}\in I$ y$b_{x1},...,b_{xj}\in J$ tal que$$x=m_{x}(a_{x1}r_{1}+...+a_{xn}r_{n})=m_{x}a_{x1}r_{1}+...+m_{x}a_{xn}r_{n}$$ and $$x=b_{x1}r_{1}+...+b_{xj}r_{j},$ $ así$$b_{x1}r_{1}+...+b_{xj}r_{j}=m_{x}a_{x1}r_{1}+...+m_{x}a_{xn}r_{n}.$ $ por lo tanto$a_{x(j+1)}=...=a_{xn}=0$ y$x=m_{x}(a_{x1}r_{1}+...+a_{xj}r_{j})\in MJ$ (recuerde que$r_{i}\in J\Rightarrow a_{i}r_{i}\in J$). Demostramos que$MI\cap J=MJ$.