Dos definiciones diferentes de operador de escalera para osciladores armónicos

Question

Como sucedió, me referí accidentalmente a dos ediciones diferentes de Introduction to QM de Griffiths. En el segundo capítulo, al definir el operador de escalera para los osciladores armónicos, usó diferentes términos. Ahora diferentes definiciones significan que su conmutador cambia. ¿Cuál de los dos operadores debo usar? Además, ¿por qué hay ambigüedad en la definición de lo mismo?

PS

PS

Answer 1

La segunda ecuación es la definición estándar de $a$ ($a_-$) y $a^\dagger$ ($a_+$) como se encuentra por ejemplo en la Wikipedia. Tenga en cuenta que la escalera de los operadores de aquí son adimensionales.

Griffiths está haciendo algo diferente. No estoy seguro de por qué, pero si usted sigue consistentemente con esta definición alternativa, usted va a obtener los mismos resultados correctos de curso. Por ejemplo, Griffiths (2.45) es $$ [a_-, a_+] = \hbar\omega , $$ comparar con el estándar $[a, a^\dagger] = 1$.

Answer 2

En la primera definición, $a_{+}$ e $a_{-}$ se han definido de tal forma que $[a_{-},a_{+}]=\hbar\omega$. Aquí la posición y el momentum se han reducido como $X=\sqrt{m}x$ & $P=\sqrt{\frac{1}{m}}p$ e $a_{\pm}= \frac{1}{\sqrt{2}}(X {\pm}iP)$.

Considerando, que en la segunda definición, $a_{+}$ e $a_{-}$ se han definido de tal forma que $[a_{-},a_{+}]=1$. Aquí la posición y el momentum se han reducido como $X=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$ & $P=\sqrt{\frac{1}{m\omega\hbar}}p$ e $a_{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X{\pm}iP)$.