Forma de las funciones invariantes de Lorentz

Question

En la QFT, la función de Green del campo gauge es invariante de Lorentz (es decir $\forall \Lambda \in SO(3,1), f(\Lambda p)=\Lambda f(p)$ ).Y según el libro de texto que estoy leyendo, La forma de tales funciones se restringe como $$ f_{\mu}(p)=\alpha(p^2)p_{\mu}\\ F_{\mu\nu}(p)=\beta(p^2)g_{\mu\nu}+\gamma(p^2)p_{\mu}p_{\nu} $$ donde $F_{\mu\nu}$ también se supone que es simétrica en los índices de Lorentz. Mi problema es que no puedo entender cómo se demuestra esta relación.Cuando $f$ y $F$ es lineal, es el lema de Schur, pero ¿cómo se aplica a $C^{\infty}$ ¿funciones?

Answer 1

Esbozo de una prueba para el equivariante función $f$ que es vectorial y para los vectores causales $p$ asumiendo únicamente la continuidad de $f$ en el último paso para extender el resultado de los vectores temporales a los vectores luminosos.

Creo que la prueba puede completarse y el caso del tensor simétrico equivariante podría tratarse de forma similar.

Considere $f(\Lambda p) = \Lambda f(p)$ donde $f$ está valorada vectorialmente como he dicho. Definir $$G^\mu(p) := f^\mu(p) - \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Evidentemente $$p_\mu G^\mu(p) = 0 \quad \forall p\:. \tag{1}$$ Por otro lado, por construcción $$G(\Lambda p) = \Lambda G(p)\tag{2}$$ Supongamos ahora que $k= (c,0,0,0)$ con $c \neq 0$ y que $R \in O(3)$ sea cualquier espacio $3$ -rotación que se va $k$ arreglado. Debe ser $$RG(k) = G(Rk)= G(k)$$ como consecuencia el vector $G(k)$ es paralelo a $k$ (ya que $O(3)$ sólo admite $0$ como punto fijo) de modo que, para algún real $a_k$ , $$G(k) = a_k k\:.$$ Si $p$ está en el cono de luz futuro o pasado, hay $\Lambda \in SO(1,3)$ con $p= \Lambda k$ para algunos $c$ . Así, $$G(p) = G(\Lambda k)= \Lambda G(k) = \Lambda a_k k = a_k p$$ y, como $p^2 \neq 0$ (1) implica $a_k=0$ para que $G(p)=0$ si $p$ es un vector temporal. Finalmente tenemos que $$f^\mu(p) = \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Podemos definir $$\alpha(p^2) := \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2}$$ ya que el lado derecho sólo depende de $p^2$ en vista de $\Lambda f(p)= f(\Lambda p)$ . Resumiendo, al menos para los vectores temporales $p$ e incluyendo los vectores luminosos suponiendo $f$ continua, $$f_\mu(p) =\alpha(p^2) p_\mu \:.$$

Los puntos cruciales son que (a) $O(3) \subset O(1,3)$ que (b) $O(3)$ no tiene puntos fijos distintos de cero, y que (c) $O(1,3)$ actúa transitivamente sobre un conjunto de vectores temporales de longitud fija.