problema del valor en los límites

Question

Por favor guíeme la solución general de la ecuación en formato$u_{tt} - u_{xx} = g(x,t)$

Estoy familiarizado con la solución de$u_{tt}-u_{xx}$, sin embargo, el RHS es un poco confuso.

He adjuntado el problema exacto donde necesito implementar esto. introduzca la descripción de la imagen aquí

Answer 1

La referencia para el siguiente es H. F. Weinberger: "Un Primer Curso de Ecuaciones Diferenciales en derivadas Parciales" de la sección 5 "El no homogéneas una Ecuación de Onda."

Considere el problema: $u_{tt}-c^2u_{xx}=F(x,t)$ $t>0$ junto con las condiciones iniciales $u(x,0)=f(x)$$u_t(x,0)=g(x)$. La correspondiente solución de d'Alembert es

$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} \! g(\xi) \, \mathrm{d}\xi + \frac{1}{2c}\int_{0}^{t}\int_{x-c(t-\eta)}^{x+c(t-\eta)} \! F(\xi,\eta) \, \mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta $

Para lidiar con la fija las condiciones de contorno, se extienden las funciones $F(x,t)$, $f(x)$, y $g(x)$ como extraño funciones de $x=0$$x=L$. Es decir, se extiende el dominio de definición de estas funciones de $[0,L]$ $[-L,3L]$por las fórmulas $f(x)=-f(-x)$ para valores negativos de $x$$f(x)=-f(2L-x)$$L\leq x\leq 3L$, a continuación, repita este proceso indefinidamente hasta que las funciones están definidas para todos los $x\in\mathbb{R}$. Este proceso se llama impar periódico de extensión.

Por ejemplo, la extraña periódico extensión de la función de $h(x)=x$ $0\leq x\leq L$ es una sierra de diente de onda con amplitud y periodo $2L$. El rango de la onda es $[-L,L]$.

Esto es suponiendo que un d'Alembert solución es satisfactoria. Usted también puede encontrar una solución por transformadas de Fourier, que puede o no puede ser más fácil.