La "anulación" en la división no siempre funciona de la misma manera, ¿verdad?

Question

He estado trabajando en Fracciones Anidadas en Khan Academy. Recientemente estaba haciendo un problema de rutina y llegué a la conclusión correcta pero me di cuenta de que no entendía por qué no seguía dividiendo. Esto es lo que empiezo. Se supone que debo reducirlo a una expresión simplificada equivalente. Me gustaría poder enlazar con el problema, pero me había movido después de publicar aquí. Aquí está el comienzo:

$\displaystyle \frac{(1+\frac xy)}{\frac xy}$

Parte de mi problema ahora parece:

$\displaystyle \frac{y\cdot(y+x)}{y(x)}$

Decido "cancelar" las "y" fuera de los paréntesis. Termino con...

$\displaystyle \frac{y+x}{x}$

Entendí que esta era la respuesta correcta. Pero por un momento estuve muy tentado de cancelar las x restantes y quedarme con una y. Aunque hago esta operación de cancelación todo el tiempo, me di cuenta entonces de que hay algo que no entiendo. Así que aquí estoy. ¿Puedes explicar por qué es que pude cancelar la y antes pero no la x cerca del final?

Se agradece mucho.

Answer 1

Para "cancelar" algo en la parte superior con algo en la parte inferior, la cosa debe ser multiplicada a la parte superior, y multiplicada a la parte inferior. Aquí, esta x se añade a algo de arriba, por lo que no se puede cancelar inmediatamente. A veces, se puede factorizar (esto es lo contrario de distribuir, donde se convierte la suma en multiplicación) algo para conseguir que se "cancele". Una forma de pensar en esto, es en lugar de "cancelar", tratar de reducir a 1, por lo que en este caso $$\frac{y(y+x)}{y(x)}=\frac yy*\frac{y+x}x$$ y $\frac yy=1$ si $y\neq 0$ Así que $$\frac yy*\frac{y+x}x=1*\frac{y+x}x=\frac{y+x}x$$ Esto es lo que ocurre realmente cuando se "cancela".

Además, en este caso, no puedes factorizar la parte superior de ninguna manera productiva, por lo que no puedes reducir nada más a 1. Por lo tanto, esta es la respuesta más simple que vas a conseguir.

Answer 2

Respuesta corta: no se pueden anular las cosas que se suman, sólo las que se multiplican.

Respuesta larga: Cuando se anulan los factores en la división, en realidad se están haciendo dos cosas: primero se factorizan y luego se utiliza el hecho de que $\frac aa$ es igual a $1$ si $a\neq 0$ . El resultado es que, si $A$ , $B$ y $C$ son algunas expresiones (no nulas), entonces

$$\frac{A\cdot B}{A\cdot C} = \frac{B}{C}$$

que es una consecuencia directa del hecho de que $$\frac{ab}{cd} = \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d}$$ para valores arbitrarios de $a,b,c,d$ ya que significa que $$\frac{A\cdot B}{A\cdot C} = \frac AA \frac BC = 1\cdot \frac BC = \frac BC.$$

En tu caso, tienes la expresión $$\frac{y(y+x)}{y\cdot x}$$

Puedes utilizar la regla que he citado poniendo $A=y$ , $B=(y+x)$ y $C=x$

Usted no puede utilizar la regla para el $x$ -es, porque la parte superior (numerador) de la fracción no es de la forma $x\cdot A$ , donde $A$ es alguna expresión.

Answer 3

El hecho clave sobre la "cancelación" que es fácil de pasar por alto (a menos que se enseñe muy, muy bien) es que se realiza estrictamente mediante operaciones aritméticas estándar. A veces puede mira como una cuestión de encontrar símbolos coincidentes y tacharlos, pero cuando eso ocurre es sólo un subproducto de las operaciones que se aplican.

La anulación de términos en el numerador y el denominador de una fracción o cociente se realiza por mediante la multiplicación o la división. En primer lugar, podemos tomar los dos hechos $\frac ab \cdot \frac cd = \frac{ac}{bd}$ y $\frac aa = 1,$ y combinarlos así:

$$\frac mn = 1 \cdot \frac mn = \frac aa \cdot \frac mn = \frac {am}{an}.$$

Ahora, puedes usar esto de dos maneras. Una forma es, puedes correrlo hacia atrás para mostrar que está bien cancelar los dos $a$ s en la expresión $\frac {am}{an}.$ Pero otra forma que a veces me resulta más fácil de entender es si quiero (por ejemplo) cancelar un $x$ en el numerador y el denominador de $\frac {xp}{xq}$ , Puedo tomar $a = \frac 1x$ en el ejemplo anterior, de modo que

$$\frac {xp}{xq} = \frac {1/x}{1/x} \cdot \frac {xp}{xq} = \frac {\frac 1x \cdot xp}{\frac 1x \cdot xq} = \frac pq.$$

Algunos dirían que hay que dividir el numerador y el denominador por $x$ , pero prefiero pensar en ello como multiplicar por $\frac 1x$ es lo mismo, por supuesto, pero encuentro que la ley distributiva de la multiplicación sobre la suma es mejor arraigada en mi cabeza que la regla correspondiente a la división, así que hago una multiplicación cuando puedo.

En la práctica, una vez que se domina la técnica, normalmente se puede escribir simplemente la primera y la última expresión sin las intermedias, pero a veces sigue siendo útil recordar los pasos intermedios, especialmente el de $\frac 1x \cdot xp$ y $\frac 1x \cdot xq$ .

Así que si tienes una expresión $$\frac{y + x}{x},$$ de hecho usted puede tratar de "cancelar" un $x$ si lo haces correctamente:

$$\frac{y + x}{x} = \frac{\frac 1x(y + x)}{\frac 1x \cdot x}.$$

Así que la pregunta es qué se obtiene de esto. Depende de cómo se maneje $\frac 1x(y + x)$ ¿aplicas la ley distributiva o no? Si no utilizas la ley distributiva, obtienes

$$\frac{\frac 1x(y + x)}{\frac 1x \cdot x} = \frac{\frac 1x(y + x)}{1} = \frac 1x(y + x) = \frac{y + x}{x},$$

es decir, terminas donde empezaste. Si utilizas la ley distributiva, obtienes

$$\frac{\frac 1x(y + x)}{\frac 1x \cdot x} = \frac{\frac yx + 1}{1} = \frac yx + 1.$$

Por supuesto, podría haber obtenido el mismo resultado utilizando el hecho de que $\frac{a+b}{c} = \frac ac + \frac bc$ así:

$$\frac{y + x}{x} = \frac yx + \frac xx = \frac yx + 1.$$

Así que vemos que en este caso, cancelando $x$ no hizo nada especialmente útil. Pero no siempre es fácil saber si una anulación le resultará útil hasta que la has probado.