Supongamos que el grupo cíclico$C_{n}$ del pedido$n$ actúa en$T^2=S^1\times S^1$ al rotar cada factor, es decir, un generador de$C_{n}$ actúa como $$ (x, y) \ mapsto ( e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}} x, e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}} y). $$ ¿Cuál es el cociente$T^2/C_{n}$ topológicamente? Al principio pensé que volvería a ser$T^2$, pero las cosas no parecen tan fáciles.
Respuestas
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Una manera de identificar es la siguiente:
El mapa de $T^2\to T^2/C$ es una cubierta mapa, becase la acción del grupo es propiamente discontinua, y el cociente es una compacta orientable de la superficie. El grupo fundamental de la $T^2$ es isomorfo a un subgrupo de índice finito de grupo fundamental de la $T^2/C$, por lo que el último es prácticamente abelian. La única compacta orientable de la superficie con una prácticamente abelian grupo fundamental es el toro en sí.
Alternativamente, observar como aboce que el cociente es un orientable de la superficie. Ahora su racional de homología $H_\bullet(T^2/C,\mathbb Q)$ es isomorfo a el subespacio de lo racional homología $H_\bullet(T^2,\mathbb Q)$ que se fija en virtud de la acción natural de la $C$. Puesto que cada elemento de a $C$ hechos por un mapa homotópica a la identidad de $T^2$, el grupo de $C$ actos trivialmente en $H_\bullet(T^2,\mathbb Q)$. Por lo tanto,$H_\bullet(T^2/C,\mathbb Q)\cong H_\bullet(T^2,\mathbb Q)$. Ahora compacta orientable superficies están clasificados bajo homeomorphism por su racional de homología, por lo que debemos tener $T^2/C\cong T^2$.
Por último, es fácil ver que la composición de la costumbre mapa de $\mathbb R^2\to T^2$ con el cociente $T^2\to T^2/C$ es una identificación del mapa de $q:\mathbb R^2\to T^2/C$, y no es difícil encontrar explícitamente un $q$ es, de hecho, el cociente mapa para una acción específica de un grupo isomorfo a$\mathbb Z^2$$\mathbb R^2$. &c.
Fred
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