Currying una función continua

Question

Hay una asignación que voy a llamar a la "alarmada operador" $\hat\square:Z^{X\times Y}\to(Z^Y)^X$ que se asigna a $f:X\times Y\to Z$ $\hat f:X\to Z^Y$define como $x\mapsto y\mapsto f(x,y)$, o, equivalentemente,$\hat f(x)(y)=f(x,y)$. Esta asignación $f\mapsto\hat f$ es un bijection, y lo suficientemente "natural" que espero que sea capaz de transportar estructura topológica de los conjuntos, en el sentido de la categoría de teoría.

Así que supongo que $X,Y,Z$ son espacios topológicos, y topologize $X\times Y$ con el producto de la topología. ¿Qué topología de hacer que me ponga la $Z^Y$ (siendo este el conjunto de continuo las funciones de $Y\to Z$) para asegurarse de que $f$ es continua iff $\hat f$ es continua? Mi conjetura es que los compact-abierto de la topología, ya que he escuchado que ha llamado el "naturales" de la topología de un espacio funcional, pero ¿alguien tiene una referencia para la prueba?

Answer 1

No puede (en generalidad):$\mathsf{Top}$ no está cerrado cartesianamente. Vea el nLab para más detalles.

Answer 2

El excelente texto de la Topología y de Groupoids por Ronald Brown describe esta ampliamente en el capítulo 5.9 y contiene completar las pruebas. La categoría de espacios topológicos no es Cartesiana cerrada, por lo que en general no tiene una exponencial objeto para cualquier par de espacios topológicos. Sin embargo, la categoría de forma compacta generado espacios (k-espacios) tiene la propiedad deseada, y contiene muchos espacios de interés como primera contables espacios localmente compactos espacios, metrizable espacios, colectores, CW complejos, etc.