Deje que$N$ sea un subgrupo normal de un grupo finito$G$

Question

Deje que$N$ sea un subgrupo normal de un grupo finito$G$. Supongamos que$|N|=5$ y que$|G|$ es impar. Demuestre que$N$ está contenido en$Z(G)$, el centro de$G$

porque el orden de$N$ es primo, entonces N es cíclico, pero me preocupa más cómo puedo derivar para$g\in G$ y$g^{-1}ng=n$ para todos$n\in N$

Answer 1

Considere$G$ que actúa sobre$N$ a través de la conjugación. Cada elemento$g \in G$ define un homomorfismo de los grupos$N \to N$. Ahora, se sabe que$\operatorname{Aut}(C_5)=C_4$, por lo que la acción anterior define un mapa$G \to C_4$.
Pero, como$|G|$ es impar, cada elemento de$G$ tiene orden impar.
De ello se deduce que el homomorfismo definido por conjugación tiene que ser trivial, por lo que cada elemento de$G$ actúa de forma trivial en$N$, es decir, para cualquier$x \in N, g \in G$$$gxg^{-1}=x$$ which implies $$gx = xg$$ so $ N \ subseteq Z (G) $.

Answer 2

Al usar N / C Lemma,$G/C_G(N)$ es isomorfo a un subgrupo de$Aut(N)$.
Tenga en cuenta que $|Aut(N)|=4$.
Como$|G|/|C_G(N)|$ divide$|Aut(N)|$ y$|G|$ es impar, tenemos$G=C_G(N)$, que es$N\leq Z(G).$

Answer 3

$gng^{-1}=n^k$. Esto implica$g^lng^{-l}=n^{k^l} \forall l.$ Poner$l=G$ tenemos$n=n^{k^{G}}$ Por lo tanto, tenemos 5 divisiones$k^{G}-1$. Dado que$G$ es impar, tenemos 5 divisiones$k-1$ y por lo tanto$n^k=n$. Esto completa la prueba.

Answer 4

En general: si$N \unlhd G$ con$|G|$ es impar y$|N|$ es un producto de diferentes números primos de Fermat (¡hay$32$ posibilidades aquí!), Entonces$N \subseteq Z(G)$ .