Es $n!a$ , $a$ irracional, equidistribuido mod 1?

Question

He intentado sin éxito demostrar un resultado más débil, que la parte fraccionaria de $n!a$ , donde $a$ es irracional, no tiende a $1/2$ como $n$ tiende a infinito. Mi objetivo era demostrar que para cada real $x$ $(n-1)!\cos(n!x)$ (la derivada de $n^{-1}\sin(n!x)$ ) no converge como $n\to\infty$ .

Answer 1

La respuesta del título es NO, ya que $$\lim_{n \to \infty} (n! e \mod 1) =0.$$ Es porque $|e-\sum_{k=0}^n 1/k!| \leq \frac{e}{n.n!}$ (utilice la fórmula de Taylor).

Answer 2

Voy a tratar de iluminar su objetivo principal

Tome cualquier $x \in \mathbb{R}$ fijo decir $ x = a$ . Así que obtendrá su secuencia como $(n-1)!\cos{(n!a)}$ . Sabemos que $\cos{(n!a)}$ está acotado para cualquier $n$ y $a$ . Ahora considera el límite, $$\lim_{n \rightarrow \infty} (n-1)!\cos{(n!a)} = \infty or -\infty$$ .

Esto es cierto para las $x = a \in \mathbb{R}$ . Así que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ derivado de $\frac{\sin{n!x}}{n}$ no converge puntualmente, por lo que no es uniforme en $\mathbb{R}$ .