Encuentra los ceros de$f(z)=z^3-\sin^3z$

Question

Quiero encontrar los ceros de $f(z)$, $$f(z)=z^3-\sin^3z$$

Mi intento

$f(z)=0$

$z^3-(z-z^3/3!+z^5/5!-\dots)^3=0$

$z^3-z^3(1-z^2/3!+z^4/5!-\dots)^3=0$

$z^3[1-(1-z^2/3!+z^4/5!-\dots)^3]=0$

Por lo $z=0$ es un cero de orden $3$.

No me siento bien acerca de esta respuesta. Por favor, dame algunos consejos si estoy en lo incorrecto.

Edit: ¿Cuál es el orden de la raíz de $z=0$?

Answer 1

Problema interesante. Estoy pensando en un par de métodos.

Tenemos $f(z)=z^3-sin^3(z)$ , y el deseo de encontrar las raíces, o, equivalentemente, soluciones de $z^3=sin^3(z)$ que da $$z^3/sin^3(z)=1$$

Así que las raíces de ocurrir en $z/sin(z)$= raíces cúbicas de la unidad:$\{1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}\}$.

O considere la posibilidad de $z^3-sin^3{z}=0=(z-\sin{z})(z^2+z\sin{z}+\sin^2z)$

Aplicando la fórmula cuadrática para el segundo término entre paréntesis da $$z=\frac{-\sin{z}+\sqrt{\sin^2{z}-4\sin^2{z}}}{2}=(\sin z)(\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})$$

De nuevo tenemos que $\frac{z}{\sin{z}}$=1 o las otras dos raíces de la unidad.

Para cada raíz de la unidad, utilice su Serie de Taylor de la representación del Seno para obtener el desarrollo en serie de Taylor de $\frac{\sin{z}}{z}$ al término cuadrático, establecer esta igualdad a las sucesivas raíces de la unidad. Esto debería ir cerca de aproximaciones a varias soluciones.

Answer 2

Sugerencia: La raíz a cero es más de cuarto orden. Observe también que

$z^3 - \sin^3 z \approx 0$

cuando $z= 5.3341 - 2.4614 i$. Que debe conducir a algunos de los más raíces.

Usted puede calcular el orden inferior términos de la Serie de Taylor de la álgebra en su "Mi Intento de" sección.

$$z^3 - \sin^3z = z^3 - (z-z^3/3!+ z^5/5!-z^7/7!+z^9/9!-O\left(z^{11}\right))^3$$ $$= z^3 - \left(z^3-\frac{z^5}{2}+\frac{13 z^7}{120}-\frac{41 z^9}{3024}+O\left(z^{11}\right)\right)$$ $$=\frac{z^5}{2}-\frac{13 z^7}{120}+\frac{41 z^9}{3024}-O\left(z^{11}\right)$$

Así, el quinto en orden a $z=0$.