Medida de imagen del mapa lineal.

Question

Estoy tratando de trabajar a mi manera a través de la prueba de que el cambio de variables teorema de Lebesgue integrales. Una clave lema en este contexto es el siguiente:

Si $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es lineal en el mapa y $A \subset \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible, a continuación, $\lambda(T(A)) = |\det T \ | \cdot \lambda (A)$ donde $\lambda(X)$ denota la medida de Lebesgue de $X$.

¿Alguien puede proporcionar una referencia para una prueba de este lema que claramente las referencias a los hechos de álgebra lineal que son necesarios para efectuar la prueba? La fuente que tengo para este lema se refiere a los textos alemanes que soy incapaz de leer y no han tenido éxito en la búsqueda de una alternativa de la prueba.

Añadido Para el Beneficio de los Futuros Lectores: Además de las excelentes referencias que he recibido en respuesta a esta pregunta, he conseguido encontrar una referencia adicional que también proporciona una buena prueba de este hecho: Aliprantis y Burkinshaw Principios de Análisis Real, Tercera Edición, el Lema 40.4 pp 389-390.

Answer 1

Sugerencia 1) Suficiente para mostrar esto en el caso de que $A$ $n$- dimensiones parallelopiped (como Juan M señalado).

Sugerencia 2) retirada de álgebra lineal que cualquier lineales de asignación puede ser escrito como una composición de primaria lineal asignaciones de tres tipos: (normalmente expresado en el lenguaje de las matrices, así que voy a hacer lo mismo aquí) A) intercambiar dos filas, B) multiplicar una fila por un escalar C) agregar un escalar múltiplo de una fila a otra.

Sugerencia 3) Intercambio de dos coordenadas es geométricamente una reflexión con respecto a un hyperplane, por lo que el tipo a es fácil. Tipo B asciende a estirar una de las coordenadas. El tipo C es geométricamente una esquila, es decir, el tipo de asignación que se convierte en un rectángulo en un paralelogramo con la misma base y altura.

Answer 2

He dado un vistazo rápido a la prueba dada en el texto al que hace referencia. Sigue en gran parte, Jyrki del enfoque, pero con una pequeña diferencia. El texto (en la parte (v) de la prueba) considera que estas de tipo C esquila de las matrices, pero con sólo un múltiplo de uno, en lugar de un general múltiples y, a continuación, se refiere a un lugar específico teorema que permite la descomposición en matrices elementales, de tal manera que la escuela primaria de la matriz con la adición de una fila a la siguiente sólo requiere un múltiplo de uno. Este teorema es más fuerte que el habitual teorema de la descomposición, y no he sido capaz de encontrar una referencia conveniente para él.

De todos modos, Jyrki la prueba es mejor que su texto: "no Hay razón para restringir los múltiples de la esquila de la matriz a uno - el mismo argumento es válido para cualquier múltiples. Una vez que se permite para este general de la esquila de la matriz, puede referirse a la más estándar de las pruebas de descomposición en matrices elementales. Me gusta Ch 1 de Artin del "Álgebra" para esto.

Por otro enfoque que puede ser muy revelador, ver cap 5 de Lax "Álgebra Lineal". Comienza con las propiedades de lo que un operador para "firmado volumen" debe verse como y, a continuación, se deduce una fórmula que resulta ser la habitual determinante.