Encuentre $\sqrt{4+\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+\cdots}}}}$

Question

Encuentre el valor de $$\sqrt{4+\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+\cdots}}}}$$

Sé cómo resolver cuando todos los surds son del mismo orden, pero ¿qué pasa si son diferentes?

Técnicamente, (como algunos usuarios querían saber exactamente lo que hay que encontrar), encontrar:

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{4+\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+\cdots+\sqrt[n]{4}}}}} $$

Answer 1

Es un comentario un poco más largo así que lo escribiré aquí (pero no es una solución así que lo borraré cuando aparezca una respuesta real).

Estoy pensando en la secuencia $$f_1=x+4$$ $$f_2=(f_1-4)^2$$ $$f_n=(f_{n-1}-4)^n$$ Esta es la secuencia de radicandos, que es divergente por cada $x$ excepto la que resuelve nuestra pregunta. Así que buscamos $x$ para la cual esta secuencia es monotónicamente convergente hasta $5$ . Cualquier desviación menor, y comienza a divergir. Así que estamos buscando un punto crítico inestable de la secuencia anterior.

$(f_n)$ es una secuencia de polinomios en $x$ : $$x+4,x^2,x^6-12x^4+48x^2-64,x^{24}-48x^{22}+\cdots$$

La solución es $x$ como por ejemplo $\lim_{n\to\infty}f_n=5$ existe, pero podríamos replantearlo como un criterio de convergencia $\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}= 1$ . Esperaba que en el límite sólo importara un subconjunto de coeficientes polinómicos con asintótica conocida, pero aquí me he quedado atascado, porque parece que todos son importantes.

Otra forma de ver esto es encontrar la raíz más grande de $f_n-5=0$ en el límite $n\to\infty$ .

He calculado la asintótica de primer orden para $f_n$ en el momento correcto $x$ :

$$f_n\asymp 5 + \frac{\ln 5}{n}$$

¿Alguna opinión sobre este enfoque?

Answer 2

Poner $$y=\sqrt{4+\sqrt[3]{4+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{4+...}}}}\qquad (1)$$ deteniéndose sucesivamente en el $n$ -tenemos una secuencia estrictamente creciente y acotada por lo que el límite $y$ está bien definida.

Desde $(1)$ podemos obtener fácilmente una secuencia $\{P_n\}$ de polinomios tal que sus mayores raíces reales $$\alpha_n=\sqrt{4+(4+(4+(4+….(4+\sqrt[n]4)^{1/n}….)^{1/5})^{1/4})^{1/3}}$$ forman una secuencia $\{\alpha_n\}$ convergiendo a $y$ . De hecho, tenemos $$\begin{cases}P_2(x)=x^2-4\\P_3(x)=(x^2-4)^3-4\\P_4(x)=( (x^2-4)^3-4)^4-4\\.....\\.....\\P_n(x)=(P_{n-1}(x))^n-4\end{cases}$$

Podemos ver el polinomio $P_n$ tiene grado $n!$ y $P_n(\alpha_{n-1})=-4$ . Desde $P_n(x)$ crece muy rápidamente, esto indica que $\{\alpha_n\}$ converge rápidamente al límite $y$ porque el arco de la gráfica de $P_n(x)$ entre los puntos $(\alpha_{n-1},-4)$ y $(\alpha_n,0)$ es casi una línea vertical por lo que $\alpha_{n-1}\approx \alpha_n$ . Este argumento se ve reforzado por la igualdad $$y=2\sqrt{1+\left(\frac{4}{4^3}+\left(\frac{4}{4^{12}}+\left(\frac{4}{4^{60}}+….\left(\frac{4}{4^n}+\sqrt[n]4\right)^{1/n}….\right)^{1/5}\right)^{1/4}\right)^{1/3}}$$ por lo que el factor de $2$ es igual a $$\sqrt{1+\left(\frac{1}{2^{6-2}}+\left(\frac{1}{2^{24-2}}+\left(\frac{1}{2^{120-2}}+….\left(\frac{1}{2^{n!-2}}+\sqrt[n]4\right)^{1/n}….\right)^{1/5}\right)^{1/4}\right)^{1/3}}$$ o $$\sqrt{1+\left(\frac{1}{2^{4}}+\left(\frac{1}{2^{22}}+\left(\frac{1}{2^{118}}+….\left(\frac{1}{2^{n!-2}}+\sqrt[n]4\right)^{1/n}….\right)^{1/5}\right)^{1/4}\right)^{1/3}}$$ Este factor de $2$ crece muy lentamente, obviamente.

Me parece que no hay una forma cerrada para $y$ (Podría ser una asintótica quizás). En consecuencia, doy aquí una aproximación (justificada) tomando la referida raíz real de, digamos, $P_6$ tenemos $$y\approx\sqrt{4+\left(4+\left(4+\left(4+\left(4+\sqrt[6]4\right)^{1/6}\right)^{1/5}\right)^{1/4}\right)^{1/3}}\approx \color{red}{2.40161550315}$$