¿Cómo probar que$\frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}} < \arctan{a}- \arctan{b}$ cuando$0<b<a$?

Question

$$\frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}} < \arctan{a}- \arctan{b}$$ when $0<b<$

Esto podría estar relacionado con el valor medio teorema, pero no puedo demostrarlo.

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Esta pregunta quedó en suspenso como off-topic, yo no podía entender la razón por qué la gente votó a cerca de él, así que agregar más detalles y tratar de volver a abrirlo.

Después me enteré de que el curso de la media del teorema del valor, mi profesor nos pidió que demostrar que $$\frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}\cdot\sqrt{1+b^2}} < \arctan{a}- \arctan{b} < a-b $$

He encontrado por medio de la ecuación $\arctan a - \arctan b = \frac{1}{1+\xi^2}(a-b)$ podría demostrar fácilmente que $$\frac{a-b}{1+a^2} < \arctan{a}- \arctan{b} < a-b $$

el derecho de la desigualdad relacionada con una serie de preguntas en StackExchange así que omití.

También trató de utilizar la desigualdad de $\frac{x}{1+x^2} < \arctan x < x$ combinada con la ecuación de $\arctan x - \arctan y = \arctan{\frac{x-y}{1+xy}}$ a probar esta pregunta, pero he fallado de nuevo.

Así que me fui a comprobar si esta pregunta está correctamente escrito y mi maestro dijo: "Sí, no hay nada mal con él".

Me encontré con el comentario de @YuDing es más útil que la respuesta de @AdamLatosiński así que no me marque la respuesta y además, no podía garrapata el comentario, porque es sólo un comentario.

El comentario de @MartinR y la respuesta de @Matteo nos ha proporcionado una gran perspectiva para resolver la cuestión. He seleccionado la respuesta por la razón de que yo no podía tic en un comentario. Tal vez porque la respuesta es puramente geométricas de la perspectiva, entonces, mi pregunta es off-topic?

Espero OP podría volver a abrir esta pregunta porque realmente aprecio el esfuerzo de todos aquí. Gracias a todos.

Answer 1

No añado mucho con respecto a el comentario de Martin: una puramente geométrica perspectiva de la situación. Considere la siguiente figura, donde a$\triangle ABC$ es en ángulo recto y $\overline{AB} =1$, $\overline{BC} = b$, e $\overline{BD} = a$. De $C$ dibuja la recta perpendicular a $AD$, que se cruza con $AD$ en $E$.

Por definición tiene $$\angle CAB = \arctan b$$ y $$\angle DAB = \arctan a,$$ así que $$\angle DAC = \arctan a- \arctan b.$$ Ahora uso el hecho de que $\triangle CDE \sim \triangle ABD$ a determinar $$\overline{CE} = \frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}}.$$ Por lo tanto, como ya se ha señalado en el mencionado comentario $$\sin \angle DAC = \frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}},$$ y la desigualdad se sigue de $\sin \alpha < \alpha$.

Answer 2

Puede escribir el lado derecho como $$ \arctan a - \arctan b = \int_b^a \frac{1}{1+x^2}dx $ $ y el lado izquierdo como $$ \frac{a-b}{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}} = \int_b^a \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x-b}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+b^2}}\right) dx = \int_b^a \frac{xb+1}{(1+x^2)^\frac32\sqrt{1+b^2}} dx$ $. Por lo tanto, la desigualdad que desea probar se puede escribir como \begin{align} 0 &< \int_b^a \left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{xb+1}{(1+x^2)^\frac32\sqrt{1+b^2}}\right) dx = \\ &\quad = \int_b^a \frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+b^2}-(xb+1)}{(1+x^2)^\frac32\sqrt{1+b^2}} dx = \\ &\quad = \int_b^a \frac{(1+x^2)(1+b^2)-(xb+1)^2}{(1+x^2)^\frac32\sqrt{1+b^2}\big(\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+b^2}+(xb+1)\big)} dx = \\ &\quad = \int_b^a \frac{(x-b)^2}{(1+x^2)^\frac32\sqrt{1+b^2}\big(\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+b^2}+1+xb\big)} dx\end {align} que es verdadera porque $b<a$ y la función integrada es positiva.