Extensión normal y efecto de los automorfismos de campo

Question

Definición 1. Una ampliación $E$ de un campo $k$ se denomina extensión normal si

(i) $E$ es la extensión algebárica de $k$ .

(ii) Todo polinomio irreducible sobre $k$ que tiene una raíz en $E$ tiene todas sus raíces (consideradas en $\overline{k}$ ) se encuentran en $E$ .

Definición: Si $E$ es una extensión de un campo $k$ entonces por una $k$ -automorfismo de $E$ nos referimos a un automorfismo de anillo de $E$ a $E$ que es $k$ -mapa lineal de la $k$ -espacio vectorial $E$ es decir, que es identidad en $k$ .

A continuación se presenta un resultado de Álgebra básica , Cohn P. M.

Corolario 11.4.9 Una extensión algebraica $E$ de $k$ es normal si y sólo si para cualquier campo $\Omega$ que contiene $E$ cualquier $k$ -automorfismo de $\Omega$ toma $E$ en $E$ .

Pregunta: En el corolario, ¿podemos sustituir a $k$ -por un automorfismo de campo de $\Omega$ que lleva $k$ a $k$ ?

En otras palabras, quiero ver si lo siguiente es correcto:

Una extensión algebraica $E$ de $k$ es normal si y sólo si para cualquier campo $\Omega$ que contiene $E$ cualquier automorfismo de campo $\sigma:\Omega\rightarrow\Omega$ que lleva $k$ a sí mismo, también toma $E$ a sí misma.

Answer 1

Aunque la condición más fuerte implica, por supuesto, la normalidad, es estrictamente más fuerte. Es decir, se cumple el "si", pero no el "sólo si".

Ya sabe que cualquier ampliación de grado $2$ es normal. Considere $k=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $E=\mathbb{Q}(\sqrt{\alpha})$ con $\alpha=\sqrt{2}$ y $E\subseteq\mathbb{R}$ (es decir, elegir una raíz real). Tome $\Omega$ es el campo de división de $x^4-2$ en $\mathbb{Q}$ que contiene $E$ . Entonces $[E:k]=2$ Así que $E$ es normal en $k$ . Consideremos ahora el automorfismo de $k$ que mapea $\sqrt{2}$ a $-\sqrt{2}$ . Esto puede ampliarse a $\Omega$ . Este automorfismo envía $E=k(\sqrt{\alpha})$ a $k(\sqrt{-\alpha})$ que no figura en $\mathbb{R}$ por lo que no puede ser igual a $E$ .

Esto se debe esencialmente a que la normalidad no se conserva en las torres: $L/E$ normal y $E/k$ normal hace no implica $L/k$ es normal.