El Segundo Teorema De Isomorfismo: Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$ e $N$ un subgrupo normal de $G$. Entonces $$H/(H\cap N)\cong(HN)/N$$
No es la prueba de Álgebra Abstracta Thomas W. Judson:
Definir un mapa de $\phi$ de $H$ a $HN/N$ por $H\mapsto hN$. El mapa de $\phi$ a, ya que cualquier coset $hnN=hN$ es la imagen de $h$ en $H$. También sabemos que $\phi$ es un homomorphism porque $$\phi(hh')=hh'N=hNh'N=\phi(h)\phi(h')$$ Por el Primer Teorema de Isomorfismo, la imagen de $\phi$ es isomorfo a $H/\ker\phi$, que es $$HN/N=\phi(H)\cong H/\ker\phi$$ Desde $$\ker\phi=\{h\in H:h\in N\}=H\cap N$$ $HN/N=\phi(H)\cong H/H\cap N$
Mi pregunta:
Es necesario probar que el mapa de $\phi$ a? Podemos sólo prueban que $\phi$ está bien definido y la imagen de $\phi$ es un subconjunto de a$HN/N$? Y, a continuación, podemos utilizar el Primer Teorema de Isomorfismo y continuar la prueba.
Gracias.
