¿Existe una forma cerrada para la recurrencia $V_{n+1}={V_n+\Delta V\over 1+{V_n\cdot \Delta V/C^2}}$ para las constantes $\Delta V$ y $C$ ?

Question

Me preguntaba si la siguiente fórmula de recurrencia tiene una forma cerrada:

$$V_{n+1}={V_n+\Delta V\over 1+{V_n\cdot \Delta V\over C^2}}$$

donde $\Delta V$ y $C$ son constantes positivas, $V_n$ es la velocidad del $n$ -el marco inercial y la velocidad primaria $V_0$ se da (tómelo $0$ si es necesario).

Inténtelo

Esta secuencia tiende obviamente a $C$ (el supremo de la velocidad de la luz de las velocidades de las observaciones), así que naturalmente intenté descifrarlo utilizando $$e_n=V_n-C$$ pero fracasé. Cualquier idea es apreciada.

Nota

La regla anterior determina el Fórmula de adición de velocidad relativista donde $V_n$ se supone que es la velocidad del marco inercial $2$ que se mueve con respecto a nosotros (marco inercial $1$ ) y $\Delta V$ es un aumento de la velocidad del objeto en movimiento (o podemos asumirla como la velocidad relativa del objeto en el marco inercial 2). Mi base de trabajo es la Transformación de Lorentz .

Answer 1

Definición de $U_n := V_n/C$ y $D := \Delta V/C$ podemos escribir la recurrencia más sencilla $$U_{n+1} = \frac{D + U_n}{1 + D\,U_n} \tag{1}$$ que se parece a la fórmula de adición de ángulos para la tangente hiperbólica: $$\tanh(a+b) = \frac{\tanh a + \tanh b}{1 + \tanh a\,\tanh b} \tag{2}$$ Así, si definimos además $u_n := \operatorname{arctanh U_n}$ y $d := \operatorname{arctanh D}$ entonces tenemos $$\tanh u_{n+1} = U_{n+1} = \frac{D+U_n}{1+D\,U_n} = \frac{\tanh d + \tanh u_n}{1 + \tanh d\tanh u_n} = \tanh(d+u_n) \tag{3}$$ para que $u_{n+1} = d + u_n$ . En consecuencia, tomar $V_0 = U_0 = u_0 = 0$ tenemos $u_n = n d$ lo que da

$$V_n= C\,\tanh\left( n \operatorname{arctanh}\frac{\Delta V}{C} \right) \tag{$ \estrella $}$$

En $n$ crece sin límites (con $\Delta V/C > 0$ ), el $\tanh$ enfoques factoriales $1$ de modo que $V_n$ se acerca a $C$ (como ha observado OP).

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Utilizando la definición exponencial de $\tanh$ podemos reescribir $(\star)$ como $$V_n = C \frac{e^{nd}-e^{-nd}}{e^{nd}+e^{-nd}} = C\frac{\left(e^d\right)^n-\left(e^d\right)^{-n}}{\left(e^d\right)^n+\left(e^d\right)^{-n}} \tag{4}$$ Tenga en cuenta que $$e^d = \exp \operatorname{arctanh} D = \exp \left(\frac12\,\log\frac{1+D}{1-D}\right) = \sqrt{\frac{1+D}{1-D}} \tag{5}$$ Sustituyendo $(5)$ en $(4)$ y simplificando finalmente se obtiene

$$V_n = C\frac{(1+D)^n-(1-D)^n}{(1+D)^n+(1-D)^n} = C\frac{(C+\Delta V)^n-(C-\Delta V)^n}{(C+\Delta V)^n + (C-\Delta V)^n} \tag{$ \star\star $}$$

que coincide con Respuesta de @Hushus46 .

Answer 2

Como he señalado en el comentario, Wolfram Alpha da la forma cerrada, con $k = \Delta V$:

$$V_n = \frac{C_1 c(c+k) \left( \frac{1}{k-c} + \frac{1}{c}\right)^n - c(c-k)\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n}{(c-k)\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n + C_1 (c+k) \left(\frac{1}{k-c}+\frac{1}{c}\right)^n}$$

Tomando $V_0 = 0$, podemos ver

$$ 0 = \frac{C_1 c(c+k) - c(c-k)}{(c-k) + C_1 (c+k) }$$

que no está definido si $C_1 = -\frac{c-k}{c+k}$, así que vamos a $C_1 \ne -\frac{c-k}{c+k}$, luego

$$0 = C_1 c(c+k)-c(c-k)\Rightarrow 0 = C_1(c+k)-c+k \Rightarrow C_1=\frac{c-k}{c+k}$$

Por lo tanto $C_1$ es indefinida cuando $k = \Delta V = -C$, por lo que dependiendo del contexto físico de especial realtivity (que no sé lo suficiente de), esto nunca va a suceder

Sustituyendo esto en el original de la forma cerrada: \begin{align}V_n &= \frac{(\frac{c-k}{c+k}) c(c+k) \left( \frac{1}{k-c} + \frac{1}{c}\right)^n - c(c-k)\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n}{(c-k)\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n + (\frac{c-k}{c+k}) (c+k) \left(\frac{1}{k-c}+\frac{1}{c}\right)^n} \\ &=\frac{c(c-k)\left[ \left( \frac{1}{k-c} + \frac{1}{c}\right)^n - \left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n\right]}{(c-k)\left[\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n + \left(\frac{1}{k-c}+\frac{1}{c}\right)^n\right]}\\ &= c \frac{\left[ \left( \frac{1}{k-c} + \frac{1}{c}\right)^n - \left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n\right]}{\left[\left(-\frac{k}{c(c+k)}\right)^n + \left(\frac{1}{k-c}+\frac{1}{c}\right)^n\right]}\end{align}

Por lo tanto, en términos de la forma en que usted ha formulado

$$ \boxed{V_n=C \frac{\left[ \left( \frac{1}{\Delta V-C} + \frac{1}{C}\right)^n - \left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n\right]}{\left[\left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n + \left(\frac{1}{\Delta V-C}+\frac{1}{C}\right)^n\right]} \quad \Delta V \ne \pm C ,\, C \ne 0}$$

si uno desea un preferible altenartive formulario sin los negativos dentro de los términos del poder:

\begin{align}V_n&=C \frac{\left[ \left( \frac{\Delta V}{C(\Delta V - C)}\right)^n - \left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n\right]}{\left[\left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n + \left(\frac{\Delta V}{C(\Delta V - C)}\right)^n\right]} \\ &=C \frac{\left[ \left( -\frac{\Delta V}{C(C-\Delta V)}\right)^n - \left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n\right]}{\left[\left(-\frac{\Delta V}{C(C+\Delta V)}\right)^n + \left(-\frac{\Delta V}{C(C- \Delta V)}\right)^n\right]} \\ &=C \frac{\left[ (-1)^n \left(\frac{\Delta V}{C}\right)^n\left( \frac{1}{(C-\Delta V)}\right)^n - (-1)^n \left(\frac{\Delta V}{C}\right)^n \left(\frac{1}{(C+\Delta V)}\right)^n\right]}{\left[(-1)^n \left(\frac{\Delta V}{C}\right)^n\left(\frac{1}{(C+\Delta V)}\right)^n + (-1)^n \left(\frac{\Delta V}{C}\right)^n \left(\frac{1}{(C- \Delta V)}\right)^n\right]} \end{align} el que está escrito \begin{align}V_n&=C \frac{\left[ \left( \frac{1}{C-\Delta V}\right)^n - \left(\frac{1}{C+\Delta V}\right)^n\right]}{\left[\left( \frac{1}{C-\Delta V}\right)^n + \left(\frac{1}{C+\Delta V}\right)^n\right]} \\ &=C \frac{\left[ \left( \frac{1}{C-\Delta V}\right)^n - \left(\frac{1}{C+\Delta V}\right)^n\right]}{\left[\left( \frac{1}{C-\Delta V}\right)^n + \left(\frac{1}{C+\Delta V}\right)^n\right]} \frac{(C+\Delta V)^n (C-\Delta V)^n}{(C+\Delta V)^n (C-\Delta V)^n}\end{align} Finalmente, $$\boxed{V_n=C \frac{\left[ \left( C+\Delta V\right)^n - \left(C- \Delta V\right)^n\right]}{\left[\left( C+ \Delta V\right)^n + \left(C- \Delta V\right)^n\right]} \quad \Delta V \ne \pm C ,\, C \ne 0}$$

que tiene la forma:

$$V_n = C \frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}$$

que tiene límite de $C$ como $n \to \infty $ (ver esto si usted no sabe cómo demostrar que), coincide con el límite en el OP pregunta.

Si alguien sabe cómo derivar la solución de Wolfram se, que sería preferible para este