¿Por qué se define una relación simétrica: $ \forall x \forall y( xRy \implies yRx)$ y no $ \forall x \forall y (xRy \iff yRx)$ ?

Question

¿Por qué una relación simétrica está definida por $ \forall {x} \forall {y}(xRy \implies yRx)$ y no $ \forall {x} \forall {y}(xRy \iff yRx)$ ? (Sólo he encontrado un par de fuentes que lo definen con un bicondicional)

Por ejemplo, según Wolfram :

Una relación $R$ en un plató $S$ es simétrica siempre que para cada $x$ y $y$ en $S$ tenemos $xRy \iff yRx$ .

Pero la mayoría de los libros lo definen de otra manera. Y creo que estoy de acuerdo con la segunda definición.

Porque si usamos la primera definición con " $ \implies $ ", conocemos la tabla de verdad de la implicación en particular $P \implies Q$ es cierto cuando $P$ es falso y $Q$ es cierto. Eso significa que en el contexto de la relación simétrica que $(x,y) \notin R \implies (y,x) \in R$ es cierto.

Y el ejemplo $A = \{1,2,3,4\}$ con relación $R = \{(2,1),(3,1),(4,1)\}$ satisface la definición porque $(x,y) \notin R \implies (y,x) \in R$ es cierto.

Y para mí es raro que este caso se considere simétrico. O tal vez tengo una profunda confusión con el concepto. Me gustaría que me ayudaran a aclararlo. *Perdón por mi gramática, no soy un hablante nativo de inglés.

Answer 1

Si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación binaria definida en $A$ (eso es, $R$ es un subconjunto de $A \times A$ ), luego la definición habitual de simetría (en cuanto a $R$ está preocupado) es $$( \forall x \in A)( \forall y \in A):x \mathrel Ry \implies y \mathrel Rx. \tag1 $$ Y esto es equivalente a $$( \forall x \in A)( \forall y \in A):x \mathrel Ry \iff y \mathrel Rx. \tag2 $$ Entonces, ¿por qué elegimos $(1)$ en lugar de $(2)$ en general? Porque, en general (aunque no en este caso) es más fácil verificar la afirmación $A \implies B$ que $A \iff B$ . Y (de nuevo, en general), cuando elegimos entre dos definiciones distintas pero equivalentes, normalmente elegimos la que es más fácil de verificar que se mantiene.

Answer 2

Para todos $x$ y todos $y$ hacer el si y solo si es innecesario (aunque perfectamente aceptable).

1) $(x,y) \in R \implies (y,x) \in R$ para TODOS $x,y \in A$

Y la declaración 2) $(x,y) \in R \iff (y,x) \in R$ son declaraciones equivalentes.

Si 1) es cierto y $(x,y) \not \in R$ entonces, aunque $(x,y) \in R \implies (y,x) \in R$ o $F \implies (y,x) \in R$ es cierto, no nos dice nada sobre si $(y,x) \in R$ . Sin embargo $(y,x) \in R \implies (x,y) \in Y$ nos dice que $(y,x) \not \in R$ . Porque $(y,x) \in R \implies (x,y) \in R$ significa $(y,x) \in R \implies F$ . Y lo único que implica una declaración falsa es una declaración falsa. Así que debemos tener $(y,x) \not \in R$ .

Así que en tu ejemplo tienes $(1,2) \in R \implies (2,1) \in R$ es cierto, pero no tienes $(2,1) \in R \implies (1,2) \in R$ como verdaderos.

Así que no es simétrico.

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Otra forma de verlo:

Si $A = \{1,2,3\}$

Entonces tendremos 9 estados.

Por 1) las nueve declaraciones son:

$(1,1) \in R \implies (1,1) \in R$

$(1,2) \in R \implies (2,1) \in R$

$(1,3) \in R \implies (3,1) \in R$

$(2,1) \in R \implies (1,2) \in R$

... etc... los nueve son necesarios.

Con 2) también tenemos nueve declaraciones:

$(1,1) \in R \iff (1,1) \in R$

$(1,2) \in R \iff (2,1) \in R$

$(1,3) \in R \iff (3,1) \in R$

$(2,1) \in R \iff (1,2) \in R$

...etc...

$(1,2) \in R \iff (2,1) \in R$ y $(2,1) \in R \iff (1,2) \in R$ es redundante.

Así que estéticamente, usando la definición 2) es.... ineficiente.

Answer 3

Que sea que $R$ es una relación simétrica.

Esto según la primera definición mencionada: $$ \forall x \forall y[xRy \implies yRx] \tag1 $$

Ahora deja que sea que $aRb$ .

Entonces se nos permite concluir que $bRa$ .

Por otra parte, si $bRa$ entonces también estamos concluyendo que $aRb$ .

Así que aparentemente lo hemos hecho: $$aRb \iff bRa$$

Se ha demostrado que para una relación simétrica $R$ (basado en la definición $(1)$ ) que tenemos: $$ \forall x \forall y[xRy \iff yRx] \tag2 $$

Así que $(2)$ es una condición necesaria para $(1)$ .

Además, es obvio que $(2)$ es también una condición suficiente para $(1)$ así que en realidad las declaraciones son equivalentes.

Ambas pueden ser usadas como definición entonces, pero en casos así es buena costumbre ir por la que tiene menos implicaciones. Esto, por ejemplo, disminuye la posibilidad de trabajo redundante si intentamos probar que una relación es realmente simétrica.

Answer 4

Si $xRy \implies yRx$ para todos $x$ y todos $y$ entonces podemos elegir $x := \tilde {y}$ y $y := \tilde {x}$ y conseguir $ \tilde {y}R \tilde {x} \implies \tilde {x}R \tilde {y}$ o, de forma equivalente, $yRx \implies xRy$ que es $ \impliedby $ .

En conclusión, dado que la implicación debería ser válida para todos $x,y$ la equivalencia ya se mantiene.