La probabilidad de que el autobús A llegue antes que el B

Question

El autobús A llega a una hora aleatoria entre las 14 y las 16 horas, y el autobús B llega a una hora aleatoria entre las 15 y las 17 horas. ¿Cuáles son las probabilidades de que el autobús A llegue antes que el B?

Entiendo que como el autobús B no puede llegar entre las 2 y las 3, sólo podemos hablar de la hora entre las 3 y las 4 de la tarde, cuando hay la misma probabilidad de que lleguen ambos autobuses. Pero en este caso, la probabilidad de que el autobús A llegue antes que el B es del 50%. ¿No? ¿Qué me falta aquí? ¿O debería mirar toda la línea de tiempo, de 14 a 17 horas? Pero entonces, en este caso, sigue siendo el 50%. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Guía:

1) Dibujar un rectángulo $2\le x\le 4,$ $3\le y\le 5$ .

2) El área del rectángulo es $4$ , por lo que el pdf es $1/4$ .

3) Dibujar la línea $y=x$ .

4) Halla el área del rectángulo sobre la línea, que es $7/2$ .

5) Finalmente, la probabilidad requerida es $7/2\cdot 1/4=7/8$ .

Aquí está el gráfico:

$\hspace{2cm}$

Autobús $A$ llegar antes que el autobús $B$ : $$A(2.5,4.5),B(3.5,4.5),C(2.5,3.5),D(3.4,3.7).$$ Autobús $A$ llegar después del autobús $B$ : $$E(3.7,3.3).$$

Answer 2

En primer lugar, supondré que la distribución de probabilidad de la hora de llegada de cada autobús es uniforme en su rango e independiente. Creo que eso está implícito en la pregunta pero en realidad no lo dices.

Se equivoca al decir que si sabe que el autobús A llega entre $3$ y $4$ entonces hay la misma probabilidad de que cualquiera de los dos autobuses llegue primero. Hay una $50$ % de probabilidad de que el autobús B llegue después de $4$ . Las probabilidades son iguales sólo si se sabe que el autobús A llega entre $3$ y $4$ y también que el autobús B llega entre $3$ y $4$ . Ese parlay sólo se produce $25$ % del tiempo.

Así que $75$ % del tiempo, usted conozca que el autobús A llega primero, y el autobús A sigue llegando primero la mitad de los $25$ % del tiempo. Así, la probabilidad de que el autobús A llegue primero es $87.5$ %.

Answer 3

Dejemos que $A_e$ ( $A$ temprano) sea el evento que bus $A$ llega antes que $3$ pm.

Dejemos que $B_\ell$ ( $B$ tarde) sea el caso de que el autobús $B$ llega después de $4$ pm.

Dejemos que $C$ sea la unión : $C=A_e \cup B_\ell$ . Por lo tanto, $$P(C)=P(A_e)+P(B_\ell)-P(A_e \cap B_\ell)=P(A_e)+P(B_\ell)-P(A_e)P(B_\ell)$$

Dejemos que $X$ sea el evento de interés ( bus $A$ llega antes que el autobús $B$ ).

Lo que sabemos (¿no?) es que $P(X | C)=1$ y $P(X | \overline{C})=0.5$

Entonces podemos escribir (probabilidad total) $$P(X) = P(X \cap C) + P(X \cap\overline{C})=P(X | C) P(C) + P(X \mid \overline{C})P(\overline{C})$$

¿Puede continuar desde aquí?

Answer 4

Definir una nueva variable $Z = A-B = A+ (-B)$ .

Siempre que $Z<0 \Rightarrow A<B$ (A llega antes que B)

Como A y (-B) son independientes, la FDP de Z es la convolución de las FDP de A y (-B): $f_Z(z) = f_A(a)*f_{-B}(b)$ .

Resolviendo la convolución gráficamente se obtiene eso: $$f_Z(z) = \cases{ \frac{z+3}{4}, -3 \leq z < -1 \\ \frac{1-z}{4}, -1 \leq z < 1}$$

Ahora calcule $P(Z<0)$

Answer 5

$$\int_{s=2}^4 \int_{t=3}^5 p(a=s) p(b=t) \delta(s<t) $$

es la ecuación integral continua 2D. $\delta(s<t)$ es 1 cuando $s<t$ y 0 en caso contrario. $\delta(s<t)$ divide el área total en dos partes, cuya suma es 1.

Se visualiza fácilmente y se resuelve con un bloque de tiempo de 2 x 2 horas con una línea diagonal $\delta(s<t)$ cortando una esquina.

El gráfico en Respuesta de farruhota lo muestra.