Teniendo en cuenta que $(E^2 - B^2)$ y $(E\cdot B)$ son invariantes de Lorentz del campo EM, y que la densidad de energía $(E^2 + B^2)$ no es invariante , parece que en cada punto de un campo EM debería haber Marco inercial único en el que la energía de campo es mínima. ¿Puede ese valor mínimo, y ese marco inercial, considerarse invariantes de Lorentz?
Respuesta
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Desde $E^2-B^2$ es invariante bajo aumenta, cualquier impulso debe cambiar tanto $E^2$ e $B^2$ por el mismo incremento $\epsilon$, si se cambia en absoluto. En otras palabras, un impulso aumenta tanto $E^2$ e $B^2$ por la misma cantidad o disminuye tanto por la misma cantidad, si cambia de ellos en todo.
Hay dos casos a considerar dos: $E\cdot B=0$ e $E\cdot B\neq 0$. A lo largo de esta respuesta, a un solo punto se considera, y "densidad de energía" significa que la densidad de la energía en ese punto.
Primero supongamos $E\cdot B=0$. En este caso, no hay un marco en el que cualquiera de $E$ o $B$ es cero. (Consulte el apéndice para ver un esquema de una prueba.) Este debe ser el marco en el que la densidad de energía es mínimo, debido a que cualquier impulso lejos de ese marco va a aumentar tanto la $E^2$ e $B^2$. (No puede disminuir ellos, porque entonces uno de ellos acabaría siendo negativo, sino $E^2$ e $B^2$ no puede ser negativo).
Ahora considere el caso de $E\cdot B\neq 0$. En este caso, no hay un marco en el que el campo eléctrico y magnético vectores son paralelos entre sí. (Consulte el apéndice para ver un esquema de una prueba.) Indicar estos campos por $E_0$ e $B_0$. En tal marco, hemos $$ |E_0\cdot B_0| = \sqrt{E_0^2B_0^2}. \etiqueta{1} $$ Después de un impulso, tenemos $$ E\cdot B = \sqrt{E^2B^2}\cos\theta = \sqrt{(E_0^2+\epsilon)(B_0^2+\epsilon)}\,\cos\theta, \etiqueta{2} $$ y desde $E\cdot B$ es invariante, esto da $$ \sqrt{E_0^2B_0^2} = \sqrt{(E_0^2+\epsilon)(B_0^2+\epsilon)}\,\cos\theta. \etiqueta{3} $$ Esto demuestra que debemos tener $\epsilon\geq 0$. Por lo tanto, si empezamos en un marco en el que los vectores $E$ e $B$ son paralelas, un impulso no puede disminuir el valor de $E^2+B^2$, por lo que no se puede disminuir la densidad de la energía en el punto dado. Esto demuestra que la energía en cualquier punto dado es minimizado en un marco donde la $E$ e $B$ son paralelos entre sí.
El marco que minimiza la densidad de energía no es el único. Por ejemplo, si empezamos en un marco donde la $E$ e $B$ son paralelos entre sí (o si uno de ellos es cero) y, a continuación, aplicar un impulso paralelo, los campos de $E$ e $B$ son invariables.
Resumen: siempre Hay un marco en el que (en el punto dado) cualquiera de las $E$ e $B$ son paralelos el uno al otro o de uno de ellos es cero. El marco que hace esto no es única. Cualquier marco minimiza la densidad de energía (en ese momento).
Apéndice
El reclamo es que si $E\cdot B=0$, entonces no hay un marco en el que cualquiera de $E$ o $B$ es igual a cero; y si $E\cdot B\neq 0$, entonces no hay un marco en el que las rectas son paralelas. He aquí un esquema de la prueba, utilizando el álgebra de Clifford enfoque que se describe en mi respuesta a
Wigner Rotación de estática E & M campos es vertiginoso
Deje $\gamma^0$, $\gamma^1$, $\gamma^2$, $\gamma^3$ ser mutuamente ortogonal de vectores de la base, con $\gamma^0$ siendo timelike y los otros son spacelike. En el álgebra de Clifford, los vectores pueden ser multiplicado, y el producto es asociativo. Voy a usar las $I$ para denotar el elemento de identidad de la álgebra, y voy a usar las $\Gamma$ para denotar el elemento especial $$ \Gamma\equiv \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3. \etiqueta{4} $$ Mutuamente ortogonales los vectores anticommute el uno con el otro, y el producto de vectores paralelos es proporcional a $I$.
Los campos eléctrico y magnético son las componentes del tensor de Faraday $F_{ab}$, que son los componentes de un bivector $$ F = \sum_{a<b}\gamma^a\gamma^b F_{ab}. \etiqueta{5} $$ En el marco definido por una determinada base, el eléctrico y el magnético partes de $F$, lo que voy a denominar $F_E$ e $F_B$ (por lo $F=F_E+F_B$), son las piezas que hacer y no implican un factor de la timelike base de vectores $\gamma^0$, respectivamente. La cantidad de $F$satisface $$ F^2=(F^2)_I + (F^2)_\Gamma \etiqueta{6} $$ donde los subíndices $I$ e $\Gamma$ denotar términos proporcionales a $I$ e $\Gamma$, respectivamente. Ambas partes, $(F^2)_I$ e $(F^2)_\Gamma$, son invariantes bajo la adecuada transformación de Lorentz. La parte $(F^2)_I$ es proporcional a $E^2-B^2$, y la parte $(F^2)_\Gamma$ es proporcional a $E\cdot B$.
El punto de partida para la prueba es que en cuatro dimensiones espacio-tiempo, cualquier bivector puede ser escrita en la forma $$ F = (\alpha+\beta\Gamma)de la uv \etiqueta{7} $$ donde $\alpha,\beta$ son escalares y donde $u$ e $v$ son mutuamente ortogonales los vectores. Si ninguno de los dos vectores es nulo (null caso serán tratados pasado), entonces siempre podemos encontrar un marco en el que ambos son proporcionales a base de vectores en una base canónica. El factor de $\alpha+\beta\Gamma$ es la misma en todos los marcos (sólo $u$ e $v$ son afectados por las transformaciones de Lorentz, porque $\Gamma$ es invariante), por lo que en el último fotograma, $F_E$ es proporcional al producto de dos vectores de la base (uno de los cuales es timelike), y $F_B$ es proporcional al producto de las otras dos. Después de volver a la fórmula tradicional en la que los campos eléctrico y magnético están representados por vectores en el espacio 3-d en lugar de por bivectors en 4-d el espacio-tiempo, esto es equivalente a la condición de que $E$ abd $B$ tanto ser proporcional a un único vector.
Si uno de los coeficientes de $\alpha,\beta$ en (7) es igual a cero (por lo que $E\cdot B=0$), esto demuestra la existencia de un marco en el que uno de ellos es cero. Si ambos coeficientes de $\alpha,\beta$ son no-cero (por lo que $E\cdot B\neq 0$), entonces esto prueba la existencia de un marco en el que las rectas son paralelas.
Por último, si uno de los vectores $u,v$ en (7) es null, $E$ e $B$ ya son paralelos entre sí y tienen la misma magnitud.
