Si$B$ es nilpotent y$AB=BA$ entonces$\det(A+B) = \det(A)$

Question

El siguiente tocones de mí:

Deje $\mathbb K$ ser un campo. Deje $A, B \in \mathbb K^{n \times n}$ donde $B$ es nilpotent y desplazamientos con $A$, es decir, $A B = B A$. Mostrar que $$ \det(A+B)=\det(A) $$

No tengo idea de cómo acercarse a este pensé que tal vez elevamos ambos lados a una potencia, pero nada funciona. Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

He aquí una manera de hacerlo sin la maquinaria de FONDO o triangulization, a pesar de que la maquinaria es absolutamente vale la pena aprender. Usted realmente sólo necesita saber que $\det(M) = 0$ si y sólo si existe $x\ne 0$ tal que $Mx = 0$ ( $n\times n$ matriz $M$), que $\det$ es multiplicativo, y que $\det(M)$ es el producto de las raíces (en una clausura algebraica) del polinomio característico de a$M$.

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Deje $m>0$ ser tal que $B^m = 0$. Desde $A$ e $B$ viaje, podemos ampliar de la siguiente manera \begin{equation}\tag{%#%#%}(A+B)^m = \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} B^{m-i} A^{i}.\end{equation}

Supongamos que $*$, y deje $\det(A) = 0$ ser tal que $v\ne 0$. Observar que $Av = 0$, ya que cada término de la expansión de la $(A+B)^m(v) = 0$ mata a $(*)$: para $v$, tenemos $0< i \le m$, y para $B^{m-i}(A^i(v)) = B^{m-i}A^{i-1}(Av) = 0$, tenemos $i=0$ desde $B^m(v) = 0$. Por lo tanto, $B^m = 0$, lo $0\ne v\in \ker (A+B)^m$, lo $(\det(A+B))^m = \det((A+B)^m) = 0$.

Ahora supongamos que $\det(A+B)=0=\det(A)$. Deje $\det(A) \ne 0$. Esto es suficiente para mostrar que $C = A^{-1}B$. Deje $\det(I+C) = 1$ ser una raíz del polinomio característico de a$\lambda \in \bar K$, por lo que $I+C$. Desde $\det((1-\lambda) I + C) = \det(I + C - \lambda I) = 0$ viajes con $A$, por lo que no $B$, y por lo tanto $A^{-1}$ es nilpotent. Ahora desde $-C = -A^{-1}B$ es nilpotent y desplazamientos con $-C$, lo que ha determinante $(1-\lambda)I + C$, por el párrafo anterior hemos $0$$ por lo $$(1-\lambda)^n = \det((1-\lambda)I) = \det(((1-\lambda)I+C)+(-C)) = \det((1-\lambda)I+C) = 0,$. Por lo tanto, el polinomio característico de a$\lambda = 1$ sólo ha $I+C$ como una raíz, y por lo tanto $1$.