Ejecuta el algoritmo de Euclides extendido a encontrar la continuación de la fracción:
$$\begin{array}{cc|cc}x&q&a&b\\
\hline 0.55033971 & & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0.55033971 & 1 & 0 & 1\\ 0.44966029 & 1 & 1 & -1 \\ 0.10067943 & 4 & -1 & 2\\ 0.04694258 & 2 & 5 & -9\\ 0.00679426 & 6 & -11 & 20 \\ 0.00617700 & 1 & 71 & -129 \\ 0.00061727 & 10 & -82 & 149\\ 4.31\cdot 10^{-6} & 143 & 891 & -1619 \\
1.25\cdot 10^{-6} & 3 & -127495 & 231666\end{array}$$
El $q$ columna son los cocientes, que van en la continuación de la fracción. El $a$ e $b$ columnas de la pista de una combinación lineal de los dos originales que es igual a $x_n$; por ejemplo, $-11\cdot 1 + 20\cdot \frac{\log(5/4)}{\log(3/2)}\approx 0.00679426$. La fracción $\left|\frac{\log(5/4)}{\log(3/2)}\right|$ se aproxima por $\frac{|a_n|}{|b_n|}$, con una precisión cada vez mayor.
Las fórmulas para la construcción de esta tabla: $q_n = \left\lfloor \frac {x_{n-1}}{x_n}\right\rfloor$, $x_{n+1}=x_{n-1}-q_nx_n$, $a_{n+1}=a_{n-1}-q_na_n$, $b_{n+1}=b_{n-1}-q_nb_n$. Inicializar con $x_0=1$, $x_{-1}$ la cantidad estamos tratando de estimar, $a_{-1}=b_0=0$, $a_0=b_{-1}=1$.
Si ejecuta la tabla mucho más grande que este, reloj de punto flotante de precisión de los problemas; una vez que el $x_n$ acércate a la exactitud límite para números de punto flotante de cerca de cero, usted no puede confiar en los cocientes más.
Ahora, ¿cómo que la precisión aumenta es irregular. Gran cocientes de ir con muy buenas aproximaciones - ver la forma en que el cociente de $143$ significa que tenemos que ir a seis dígitos del numerador y el denominador hacerlo mejor que eso $\frac{891}{1619}$ aproximación.
Por supuesto que es una cuestión de equilibrio entre la precisión y la profundidad de ir. Por sus efectos en el cálculo del coste de los dos actualizaciones, probablemente me vaya con ese $\frac{11}{20}$ aproximación.
