Por ejemplo, parece que "debería" haber un agujero de dimensión infinita (o quizás muchos) en$S^1 \times S^1 \times \ldots$. (O tal vez ninguno ...) ¿Hay un invariante que lo cuente? ¿Qué tipo de espacios "interesantes" motivan el estudio de tales invariantes? ¿Espacios vectoriales topológicos no finitos menos un punto?
Los grupos de homotopía de dimensión infinita en Google y los grupos de homología de dimensión infinita no revelaron nada que pareciera relevante.
Un problema con la extensión de homotopy y homología de grupos al infinito dimensional caso es que el infinito dimensional esfera $S^\infty=\cup_{n} S^n$ (donde cada una de las $S^n$ incluye en $S^{n+1}$ equatorially) es contráctiles. Una forma sencilla de ver esto es Whitehead del teorema. Todos homotopy grupos de desaparecer, por lo que debe ser contráctiles. Tal vez hay alguna otra manera de generalizar homología o homotopy grupos, pero el ingenuo manera se produce un error.
He aquí otro ejemplo que indica que las cosas son extrañas cuando vaya a infinito de dimensiones. El cubo de Hilbert es el infinito producto de intervalos cerrados que se puede considerar como más y más pequeño en diámetro. Lo extraño es que es homogénea. Hay una auto-homeomorphism de tomar cualquier punto a cualquier punto. Así que, aunque se siente como que no tiene bien definidos los límites, no. En particular, tomando un punto de distancia de ella no va a cambiar su homotopy tipo!
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