¿Es la amplitud integral del camino una función de onda?

Question

La probabilidad de amplitud para una partícula para viajar de $\mathbf{x}_i $ a $\mathbf{x}_f$ en un tiempo de $t$ está dado por la ruta integral

$$ \langle \mathbf{x}_f | e^{-iHt} |\mathbf{x}_i \rangle = \int \mathcal{D}\mathbf{x} e^{iS[\mathbf{x}]} $$

donde estoy integrando sobre todos los posibles caminos a $\mathbf{x}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 $ tal que $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_i$ e $\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_f$. Bueno, yo estaba pensando en el experimento de doble rendija y he escuchado la idea de una "función de onda" de una partícula que ha viajado a través de un particular de la rendija, y siempre me he preguntado qué significa eso exactamente. Entonces recordé que definimos la función de onda de un sistema en estado de $| \psi \rangle$ como $$ \psi(\mathbf{x},t) = \langle \mathbf{x} | \psi(t) \rangle. $$ Si, por el experimento de doble rendija, Si pudiera encontrar un Hamiltoniano $H$ que describe el efecto de la doble rendija, yo seguramente podría eligió mi estado en un momento $t$ después de la liberación de la partícula en $\mathbf{x}_i$ a la multiplicación del estado de $$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\mathbf{x}_i\rangle$$ Por lo tanto, mi función de onda sería $$ \psi(\mathbf{x},t) = \langle \mathbf{x} | e^{-iHt}|\mathbf{x}_i \rangle $$

cual es la ruta integral como se indica más arriba. Si de alguna manera podría escribir el Hamiltoniano que describe el comportamiento de la doble rendija, seguramente mi función de onda, y por lo tanto mi camino integral, podría resolver la ecuación de Schrödinger?

Answer 1

Si de alguna manera podría escribir el Hamiltoniano que describe el comportamiento de la doble rendija, seguramente mi función de onda, y por lo tanto mi camino integral, podría resolver la ecuación de Schrödinger?

Interesante pregunta, y la respuesta es sí. Creo que tal vez el más recto hacia delante razón es que, como usted dice, suponiendo que conocemos el adecuado Hamiltonianos $H$, el estado del sistema con el que he escrito evoluciona en el tiempo según la central unitaria de evolución en el tiempo del operador, que opera en las soluciones de la ecuación de Schrödinger. Es decir,

$$ \lvert \bf{x}_f \rangle = \mathcal{U}(t)\lvert \bf{x}_i \rangle = e^{-iHt} \lvert \bf{x}_i \rangle$$

para $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$.

En este artículo, se muestra cómo la ecuación de Schrödinger es derivada desde el tiempo de evolución de la genérica de un estado cuántico, que es lo que te hayas propuesto. Hay un montón de formalismo aquí, pero lo que es en última instancia la grave tarea es encontrar que Hamiltonianos que produce sensible predicciones para el experimento de doble rendija. Aquí's un muy relacionados con la pregunta.

Answer 2

Voy a decir algo a la pregunta general y, a continuación, uso de la doble rendija pregunta más directa. Siéntase libre saltar a la parte II. También estoy ignorando todas las constantes por la elección de las unidades correspondientes.

I. Observaciones Generales

Como otro comentarista señaló, de hecho la ruta integral y el de Schroedinger formalismo están interrelacionados, en el siguiente sentido: Considere un sistema con un Hamiltoniano $H = H(p,x)$, donde en la r.h.s. hemos expresado que el operador de Hamilton ela un operador de la función de impulso $p$ y la posición $x$, por ejemplo,

$H(p,x) = p^2 + V(x). $

Luego, si nos "dequantize" este Hamiltoniano para obtener una clásica función Hamiltoniana, y si este clásico de Hamilton es cuadrática en el impulso de las variables podemos partir de ahí calcular el clásico de acción funcional

$S[x(t)] = \int ( p(t) \dot{x}(t) - H(p(t),x(t))) dt$

donde $p(t)$ se expresa en términos de $x(t)$ e $\dot{x}(t)$.

La declaración es ahora que si $U(x_f,t_f;x_i,t_i)$ es la transición de amplitud de una partícula que se propaga desde una posición inicial $x_i$ en el tiempo de $t_i$ a un final posición $x_f$ en el tiempo de $t_f$, entonces, por un lado, satisface Schroedingers ecuación:

$ \left[- i \frac{\partial}{\partial t} + H( - i \partial_x,x) \right] U(x,t;x_i,t_i) = 0$

Por otro lado, esta transición de amplitud está dada como una ruta integral

$U(x_f,t_f;x_i,t_i) = \int_{x(t_i) = x_i}^{x(t_f) = t_f} D[x(t)] e^{ i S[x(t)]} .$

II. Doble rendija caso

De hecho, no es difícil de escribir el caso de Schroedinger para este problema. Para esto, recuerde que en la posición de la representación, es sólo una ecuación diferencial parcial, y vienen con una variedad de condiciones de frontera. Es decir, podemos modelo de la doble rendija por la siguiente PDE

$ i \frac{\partial}{\partial t} \psi_t(x) = - \nabla^2 \psi_t(x) $

sujeto a las condiciones de frontera

$ \psi(t,x) = 0 \text{ for } x \in D$

aquí, $D$ es la región donde la doble rendija. Por ejemplo, podemos decir que

$D = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x = 0, |y| < 1 OR |y| > 2 \}$

que corresponde de las ranuras sentado en el $yz$-plano, siendo infinitamente extendido en la $z$ dirección y que se extiende desde $y=-2$ a $y = -1$ e de $y = 1$ a $y = 2$.

Al igual, usted puede usar la ruta integral de la acción funcional

$S[x(t)] = \int \dot{x}^2(t) d t$

sin embargo, nótese que aquí no podemos integrar sobre todos los caminos, pero sólo a través de los mapas de $x:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^3 - D$; es decir, sólo tenemos en cuenta los caminos por los que ir a través de las rendijas.

Esto sin embargo no es demasiado útil, ya que tanto las descripciones no son muy fáciles de resolver. La ecuación de Schroedinger no debería ser demasiado difícil de resolver en una computadora, y la ruta integral permite algunas semiclassics, que creo que se hace en su libro sobre el camino de la integración.