Un poco de ayuda en la homología de un toro en relación con un círculo.

Question

En primer lugar voy a ir a través de mi trabajo. A lo largo asumimos la homología de grupos del toro y el círculo son conocidos.

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Deje $X=S^1 \times S^1$ ser el toro, y $A=S^1 \times \{1\}$. La siguiente es parte de una larga secuencia exacta: $$ \dots \a H_n(X) \a H_n(X,A) \a H_{n-1}(A) \a \dots $$ Para$n\geq 3$,$H_n(X) = H_{n-1}(A) = 0$, lo $H_n(X,A) = 0$. El uso de la "versión reducida" de la secuencia, tenemos $$ \dots \a H_2(A) \a H_2(X) \a H_2(X,A) \xrightarrow{f} H_1(A) \xrightarrow{i_*} H_1(X)\qquad\qquad\qquad\qquad $$ $$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \a H_1(X,A)\a \tilde{H}_0(A) \a \tilde{H}_0(X) \a \tilde{H}_0(X,A) \a 0. $$

Paso 1. Ahora, $A, X$ ruta conectado para $\tilde{H}_0(A) =\tilde{H}_0(X) = 0$. Por lo $\tilde{H}_0(X,A)=0$ por el largo de la secuencia exacta, lo que nos da que $H_0(X,A) \cong \mathbb{Z}$.

Paso 2. El mapa de $i_*: H_1(A) \to H_1(X)$ es de $[\alpha] \mapsto [i(\alpha)]$ donde $i$ es la inclusión. En otras palabras, es inyectiva, y por lo $0 = \ker i_* = \text{im}\:f$, y por lo $f$ es el cero mapa. Esto deja dos breves secuencias exactas, y se supone que $H_2(X,A) \cong H_2(X) \cong \mathbb{Z}$.

Paso 3. Es una consecuencia inmediata de los restantes breve secuencia exacta que $H_1(X,A) \cong H_1(X)/\text{im }i_* \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$.

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Lo que estoy buscando son principalmente los comentarios sobre si esto se hace correctamente, pero también tengo dos preguntas específicas:

1. He utilizado la reducción de la homología 'versión' de la larga secuencia exacta correctamente? Estoy muy dudoso con la reducción de la homología...

2. Mi razón para $i_*$ ser inyectiva fue un poco handwavy. Es siempre el caso de que un homomorphism inducida por la inclusión de espacios de $A\hookrightarrow X$ es inyectiva?

Answer 1

En general, esto se ve bastante bueno. Usted probablemente desea señalar que $H_2(A)\cong0$.

Específicamente:

1. Sí. Usted escribió la secuencia de abajo correctamente. Reducción de homología es ampliamente utilizado para hacer los cálculos más fácil. Surge de aumentar el (singular, simplicial, etc.) la cadena de complejos asociados a un espacio con un mapa adicional $\cdots\to C_0(X)\xrightarrow{\epsilon}\mathbb{Z}\to 0$ donde $\epsilon(\sum_i n_i\sigma_i)=\sum_i n_i$.

2. No es siempre el caso de que el mapa inducida por una inclusión de los espacios es una inyección en la homología. Considerar la inclusión de $S^1\hookrightarrow D^2$. El disco es contráctiles, y por lo tanto tiene la misma homología como un punto, donde como $S^1$ ha trivial $H_1$. En su caso, se puede ver que la inclusión de $S^1$ a $S^1\times S^1$ $S^1\times \{*\}$ induce una inclusión en la homología, dando ambos espacios adecuados células de estructuras complejas (CW-, $\Delta$-, o simplicial-) y explícitamente siguiendo el mapa inducida en el complejo de cadena a nivel de homología.

Answer 2

No puedo comentar porque no tengo suficientes puntos, pero me gustaría comentar que$\tilde H_n(X,A)$ es lo mismo que$H_n(X,A)$ para todos$n$ cuando$A\ne \emptyset$, por lo que esta conclusión paso 1 parece incorrecta ...