Calculé la generación función $A(x)$ % recurrencia $an = a{n-2} - 2a_{n-3}$, $(n \ge 0, a_0 = a_1 = 0, a_2 = 2)$ y no tienen idea sobre cómo expandir en una serie de energía para leer los coeficientes.
$$A(x) = {-2x^4 \over 1+x^2}.$$
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Matthew Scouten
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Tu función generadora es incorrecta.
Tiene la recurrencia$$a_n=a_{n-2}-2a_{n-3}+2[n=2]\;,$$ where the last term is an Iverson bracket, and I assume that $ a_n = 0$ for $ n <0 $. Entonces
$$ \begin{align*} A(x)&=\sum_{n\ge 0}a_nx^n\\ &=\sum_{n\ge 0}a_{n-2}x^n-2\sum_{n\ge 0}a_{n-3}x^n+2x^2\\ &=x^2A(x)-2x^3A(x)+2x^2\;, \end {align *} $$
entonces$$A(x)=\frac{2x^2}{1-x^2+2x^3}\;.$ $
Tu funcion es
$$ \begin{align*} \frac{-2x^4}{1+x^2}&=-2x^4\cdot\frac1{1-(-x^2)}\\ &=-2x^4\sum_{n\ge 0}(-x^2)^n\\ &=-2x^4\sum_{n\ge 0}(-1)^nx^{2n}\;, \end {align *} $$
en el que el coeficiente de$x^2$ y de cada potencia impar de$x$ es$0$. Sin embargo,$a_2=2\ne 0$ y$a_3=a_1-2a_0=0$, así que$a_5=a_3-2a_2=-4\ne 0$.
Anthony Shaw
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858
Como se ha señalado, su función generadora es incorrecto. Supongamos que $$ (x) = \sum_ {k = 0} ^ \infty akx ^ k\tag {1} $$ entonces por las condiciones iniciales y la recurrencia obtenemos que $$\begin{align} A(x) &=2x^2+\sum{k=3}^\infty(a{k-2}-2a{k-3})x^k\ &=2x^2+\sum_{k=1}^\infty akx^{k+2}-2\sum{k=0}^\infty akx^{k+3}\ &=2x^2+\sum{k=0}^\infty akx^{k+2}-2\sum{k=0}^\infty a_kx^{k+3}\[4pt] &=2x^2+(x^2-2x^3)A(x)\tag{2} \end {alinee el} $ y resolver $(2)$ de $A(x)$ produce la generación de la función a ser $$ (x) = \frac {2 x ^ 2} {1-x ^ 2 +2 x ^ 3} \tag {3} $$
saadtaame
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Para asegurarme de que entendí que estoy haciendo este ejemplo. Espero haberlo hecho bien este.
$$ a_n = 2a_ {n-1} + 4a_ {n-2} \\ a_0 = 1, a_1 = 3 $$
PS
$$ A (x) = \ sum_ {n> = 0} a_nx ^ n = 2 \ sum_ {n> = 0} a_ {n-1} x ^ n +4 \ sum_ {n> = 0} a_ {n -2} x ^ n +1 + x $$
$$ = 2xA (x) +4x ^ 2A (x) +1 + x $$
Obtenemos: $$ A (x) = {1 + x \ sobre 1-2x-4x ^ 2} $$
