Muestra que$2^n>n$ para$n\in \mathbb{N}$

Question

Muestra que$2^n>n$ para$n\in \mathbb{N}$

Puedo resolver esto por inducción matemática. ¿Hay algún otro método para resolver.

Answer 1

Usando la expansión binomial,$$2^n = (1+1)^n = \sum_{i=0}^n {n\choose i}\geq 1+n$ $ ya que cada término en la suma es positivo, y tanto${n\choose 1}=n$ como${n\choose 0}=1$ aparecen en la suma.

Answer 2

PS

Answer 3

Por la media desigualdad aritmética-geométrica ,

PS

(donde el primer numerador tiene un$$\sqrt[n]n\le{n+1+1+\cdots+1\over n}={2n-1\over n}\lt 2$ y$n$$n-1$ 's). Por supuesto, esto deja la cuestión de probar la AGM sin utilizar la inducción.

Answer 4

Con la teoría de conjuntos:

Observe que$2^n$ es la cardinalidad del conjunto de potencias de un conjunto de elementos$n$ -. El conjunto de potencias de un conjunto finito debe ser mayor que el del conjunto original, ya que contiene todos los singletons, así como el conjunto vacío, que ya es$n+1$ elementos.

Para$n>1$, el conjunto de energía también contiene otros subconjuntos más grandes, pero la prueba ya está completa.

Answer 5

Con el análisis:

$2^1 >1$ y para cualquier $x>1$, $\;(2^x)'>(x)'=1$, ya que

• $(2^x)'=2^x\ln 2>2\ln 2=\ln4$
• $4>\mathrm e$.

Por lo tanto, por el corolario estándar de la media Teorema del valor$\;2^x>x\;$ % todos $\;x\ge 1$.