Es allí cualquier topología en $\mathbb{N}$ que cada mapa continuo de un espacio topológico (secuencia continua) es equivalente a la convergencia de la secuencia en el sentido clásico?? Formalmente, si $X$ es un espacio topológico, queremos una topología en $\mathbb{N}$ tal que para cada función se $f:$ $\mathbb{N}$$\mapsto$$X$, $f$ es continua si y sólo si la secuencia de $f_n$ (la función de $f$) es convergente en el sentido clásico ,(existe un $x$ a $X$ tal que para todos los arededores $U$ de $x$ , existe un número natural $n_0$ tal que para cada a$n>n_0$ $f_n$ se encuentra en $U$ ). Pensé por primera vez en la topología $T=\{\{n,n+1,n+2,...\} | n\in\mathbb{N}\}$ , pero resulta que cada secuencia continua con la topología debe ser constante, de modo que la topología es inadecuada para ese propósito.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo que buscamos es $\omega+1$, en términos de los números ordinales. Es una secuencia con un límite. Si usted desea permanecer con sólo $\Bbb N$, entonces considere el orden de la topología inducida por $\prec_0$ , el cual es definido como $n\prec_00$ para todos los $n>0$, e $n\prec_0m$ si y sólo si $n<m$ en el orden habitual cuando se $n,m\neq 0$.
En otras manos, el abrir los conjuntos de cualquier subconjunto de a$\Bbb N\setminus\{0\}$ y a los co-conjunto finito $A$ tal que $0\in A$.
Supongamos que $f\colon\Bbb N\to X$ es continua en esta topología, a continuación, $f(n)\to f(0)$ en $X$. Para ver por qué, tenga en cuenta que si $U\subseteq X$ es una vecindad de a$f(0)$, a continuación, $f^{-1}(U)$ es abierto y $0\in f^{-1}(U)$. Por lo tanto, $f^{-1}(U)$ contiene un número finito de puntos, lo que significa que $f(n)\in U$ para todos, pero un número finito de $n$'s.
