Movimiento armónico simple en la relatividad especial

Question

Yo estaba tratando de ver qué resultados me gustaría conseguir si yo fuera a incorporar correcciones relativistas en el caso de un oscilador armónico en una dimensión. Pensé que si la velocidad máxima de la oscilación del cuerpo se acercara relativistas, la medición del período de tiempo de movimiento y las mediciones relacionadas debe cambiar. Supuse que un laboratorio de marco $(t,x)$.

La ecuación de movimiento debe ser \begin{equation}\frac{dp}{dt}+kx=0 \end{equation} donde $t$ es el tiempo medido en el laboratorio de marco. $\frac{dp}{dt}$ es calculado en $\gamma^3m_0\ddot{x}$(ya que sólo los $a_{\mid\mid}$ existe para este movimiento). Ingenuamente, lo tomé como mi solución de la siguiente manera: \begin{equation}\gamma^3m_0\ddot{x}=-kx \end{equation} \begin{equation}\implies\ddot{x}=-\frac{k}{\gamma^3m_0}x \end{equation} \begin{equation}\implies\ddot{x}=-\omega^2x \end{equation} Así que me tomé la frecuencia angular $\omega$ simplemente como eso. Sin embargo, me olvidé de que $\gamma$ es una función de $\dot{x}$ y obviamente, esto complica las cosas... por ejemplo, el período se convierte en una función de la velocidad. No estoy seguro de si mi enfoque es correcto y no tengo las herramientas para resolver la ecuación diferencial que me gustaría conseguir si yo fuera a abrir $\gamma$, por lo que mis preguntas son las siguientes:

1. Estoy haciendo este derecho?
2. Me estoy perdiendo algo conceptualmente?
3. Existe una mejor manera de abordar el problema?
4. Y si, por algún milagro, mi última expresión para $\ddot{x}$ es correcta, podría haber algunos de ayudar a la solución de la ecuación diferencial?

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EDIT: Si vas a publicar la expresión relativista, por favor enviar la correspondiente evaluación de la Clásica límite de su expresión.

Answer 1

Usted puede obtener una solución exacta para $t(p)$, si bien implica un lugar desagradable integral que no estoy seguro de que puede ser escrito en forma cerrada. He aquí cómo:

Las ecuaciones de movimiento son $$ \frac{dp}{dt} = -kx \qquad \frac{dx}{dt} = \frac{1}{m} \frac{p}{\sqrt{1 + p^2/m^2 c^2}}. $$ Esta segunda ecuación se puede obtener tomando la ecuación de $p = m v /\sqrt{1 - v^2/c^2}$ y resolviendo $v$. La diferenciación de la primera ecuación y conectar en el segundo, entonces los rendimientos $$ \ddot{p} = - \omega^2 \frac{p}{\sqrt{1 + p^2/m^2 c^2}}. $$ donde $\omega^2 = k/m$ como de costumbre. Este es un de segundo orden de la educación a distancia de la forma $\ddot{p} = f(p)$, y por lo tanto puede ser resuelto (al menos en principio) a través del método de cuadraturas: \begin{align} \dot{p} \ddot{p} &= - \omega^2 \dot{p} \frac{p}{\sqrt{1 + p^2/m^2 c^2}} \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \dot{p}^2 \right) &= \frac{d}{dt} \left( - \omega^2 m^2 c^2 \sqrt{ 1 + p^2/m^2 c^2 }\right) \\ \frac{1}{2} \dot{p}^2 &= - \omega^2 m^2 c^2 \sqrt{ 1 + p^2/m^2 c^2 } + C, \end{align} donde $C$ es una constante determinada por las condiciones iniciales. En particular, si tomamos el caso de que la partícula se suelta desde el reposo a una distancia $A$ desde el origen, entonces tenemos $p_0 = 0$$\dot{p}_0 = - kA$, lo que implica que $$ C = \frac{1}{2} k^2 A^2 + \omega^2 m^2 c^2; $$
y así tenemos $$ \frac{dp}{dt} = \pm \sqrt{ k^2 A^2 + 2 \omega^2 m^2 c^2 - 2 \omega^2 m^2 c^2 \sqrt{ 1 + p^2/m^2 c^2 } }. $$

Esta es una ecuación separable, por lo que en principio, entonces, tenemos una solución implícita de $t(p)$: $$ t(p) = \int_0^p dp \left[ 2 C - 2 \omega^2 m^2 c^2 \sqrt{ 1 + p^2/m^2 c^2 } \right)^{-1/2}. $$ Hacen de todo, como adimensional como sea posible, hemos de redefinir $\tilde{p} = p/mc$$\tilde{C} = C/\omega^2 m^2 c^2$; la integral se convierte entonces en $$ t(\tilde{p}) = \frac{1}{\omega} \int_0^\tilde{p} d\tilde{p} \left[ 2 \tilde{C} - 2 \sqrt{ 1 + \tilde{p}^2 } \right)^{-1/2}. $$ No sé cómo resolver esta integral, personalmente. Mathematica me dice que no hay una solución en términos de incompleta de las integrales elípticas, pero no es terriblemente iluminando; y parece bastante desesperado para tratar de invertir esta para obtener $p(t)$ y, por lo tanto,$x(t)$.

Sin embargo, esta expresión puede usarse para determinar el periodo de oscilación. Si pensamos acerca de la oscilación, se tomará una cuarta parte del objeto del periodo de $p = 0$ a un máximo de $p$ (donde $\dot{p} = 0$.) Este será, precisamente, donde la cantidad entre corchetes en la integral anterior se desvanece. En otras palabras, el período de $\tau$ será dada por $$ \tau = \frac{4}{\omega} \int_0^{\sqrt{\tilde{C}^2 - 1}} d\tilde{p} \left[ 2 \tilde{C} - 2 \sqrt{ 1 + \tilde{p}^2 } \right)^{-1/2} $$ Tenga en cuenta que la dependencia de la amplitud de la época está codificada en la constante $\tilde{C}$. Dicho esto, todavía no estoy seguro de cómo resolver esta integral, y Mathematica no se preocupó por ella. Si nada más, es susceptible de integración numérica de ahora.

EDIT: En el límite Newtoniano, tendremos $\tilde{p} \ll 1$, en todos los tiempos, y $$ \tilde{C} = 1 + \frac{1}{2} \frac{k^2 A^2}{\omega^2 m^2 c^2} = 1 + \frac{\omega^2 A^2}{2 c^2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\tilde{C}^2 - 1} \approx \frac{\omega}{c}. $$ Por lo que el período de tiempo en este límite se convierte en \begin{align*} \tau &\approx \frac{4}{\omega} \int_0^{\omega A/c} d\tilde{p} \left[ 2 + \frac{\omega^2 A^2}{c^2} - 2 - \tilde{p}^2 \right]^{-1/2} \\ &= \frac{4}{\omega} \int_0^{\omega A/c} d\tilde{p} \left[ \frac{\omega^2 A^2}{c^2} - \tilde{p}^2 \right]^{-1/2} \\ &= \frac{4}{\omega} \left[ \arcsin \left( \frac{c \tilde{p}}{\omega A} \right) \right]_0^{\omega A/c} \\ &= \frac{4}{\omega} \left[\frac{\pi}{2} \right]= \frac{2\pi}{\omega}. \end{align*} Así que la de Newton resultado del periodo se recupera. Uno podría hacer una expansión similar a resolver para $p(t)$ en este caso, ya que nos quedaría algo como $\omega t = \arcsin (c \tilde{p}/\omega A).$

Answer 2

Yo estaba tratando de ver qué resultados me gustaría conseguir si yo fuera a incorporar correcciones relativistas en el caso de un oscilador armónico en una dimensión. [...] $ \gamma^3~m_0~\ddot{x} = -k x $

Ya que tu pregunta es específicamente sobre el movimiento armónico, podríamos (lugar) insisten en esta solución

$$x[~t~] := x_{\text{max}}~\text{Sin}[~\omega~(t - t_0)~],$$

y preguntar acerca de la expresión, como una función de la $x$, correspondiente adecuados fuerza conservadora (o, eventualmente, la "forma" de una correspondiente potencial).

En consecuencia, nos gustaría que nos inserte el "armónico de la solución" en el lado izquierdo de la ecuación:

$$ \gamma^3~m_0~\ddot{x} \mapsto -m_0~\omega^2~x_{\text{max}}~\text{Sin}[~\omega~(t - t_0)~]~/~\sqrt{ 1 - \left(\frac{x_{\text{max}}~\omega~\text{Cos}[~\omega~(t - t_0)~]}{c}\right)^2 }$$

y la pregunta de cómo expresar como una función de la variable $x$ (en lugar de la variable $t$). Claro que esto es sencillo mediante la inserción de la armónica de la solución:

$$ \begin{align*} \gamma^3~m_0~\ddot{x} ~~~ & \mapsto -m_0~\omega^2~x~/~\sqrt{ 1 - \left(\frac{x_{\text{max}}~\omega~\text{Cos}[~\text{ArcSin}[~x/x_{\text{max}}~]~]}{c}\right)^2 } \\ ~ & = -m_0~\omega^2~x~/~\sqrt{ 1 - \left(\frac{x_{\text{max}}~\omega~\sqrt{1 - (x/x_{\text{max}})^2}}{c}\right)^2 } \\ ~ & = -m_0~\omega^2~x~/~\sqrt{ 1 - \left(\frac{x_{\text{max}}~\omega}{c}\right)^2 + \left(\frac{x~\omega}{c}\right)^2 }. \end{align*} $$

Por supuesto, debemos exigir $0 \lt x_{\text{max}}~\omega \lt c$, por la raíz cuadrada es siempre definida y real.
En el ("no-relativista") límite de $x_{\text{max}}~\omega \ll c$ (y desde $0 \le |x| \le x_{\text{max}}$) esta fuerza de la expresión de los enfoques de la parte derecha de la ecuación: $-m_0~\omega^2~x \equiv -k~x$.

También se integra fácilmente a la obtención de la correspondiente "relativista armónico forma potencial"

$$V[~x~] := m_0~c^2 ~\sqrt{ 1 - \left(\frac{x_{\text{max}}~\omega}{c}\right)^2 + \left(\frac{x~\omega}{c}\right)^2 } - V_{\text{ref}};$$

donde el término con el explícito $x$ dependencia en el límite de $x_{\text{max}}~\omega \ll c$ enfoques $m_0~c^2~\frac{1}{2}~\left(\frac{x~\omega}{c}\right)^2 = \frac{1}{2}~m_0~\omega^2~x^2 \equiv \frac{k}{2}~x^2$.