4 votos

Movimiento armónico simple en la relatividad especial

Yo estaba tratando de ver qué resultados me gustaría conseguir si yo fuera a incorporar correcciones relativistas en el caso de un oscilador armónico en una dimensión. Pensé que si la velocidad máxima de la oscilación del cuerpo se acercara relativistas, la medición del período de tiempo de movimiento y las mediciones relacionadas debe cambiar. Supuse que un laboratorio de marco (t,x)(t,x).

La ecuación de movimiento debe ser dpdt+kx=0dpdt+kx=0 donde tt es el tiempo medido en el laboratorio de marco. dpdtdpdt es calculado en γ3m0¨xγ3m0¨x(ya que sólo los aa existe para este movimiento). Ingenuamente, lo tomé como mi solución de la siguiente manera: γ3m0¨x=kxγ3m0¨x=kx ¨x=kγ3m0x¨x=kγ3m0x ¨x=ω2x¨x=ω2x Así que me tomé la frecuencia angular ωω simplemente como eso. Sin embargo, me olvidé de que γγ es una función de ˙x˙x y obviamente, esto complica las cosas... por ejemplo, el período se convierte en una función de la velocidad. No estoy seguro de si mi enfoque es correcto y no tengo las herramientas para resolver la ecuación diferencial que me gustaría conseguir si yo fuera a abrir γγ, por lo que mis preguntas son las siguientes:

  1. Estoy haciendo este derecho?
  2. Me estoy perdiendo algo conceptualmente?
  3. Existe una mejor manera de abordar el problema?
  4. Y si, por algún milagro, mi última expresión para ¨x¨x es correcta, podría haber algunos de ayudar a la solución de la ecuación diferencial?

EDIT: Si vas a publicar la expresión relativista, por favor enviar la correspondiente evaluación de la Clásica límite de su expresión.

6voto

Michael Seifert Puntos 3156

Usted puede obtener una solución exacta para t(p)t(p), si bien implica un lugar desagradable integral que no estoy seguro de que puede ser escrito en forma cerrada. He aquí cómo:

Las ecuaciones de movimiento son dpdt=kxdxdt=1mp1+p2/m2c2.dpdt=kxdxdt=1mp1+p2/m2c2. Esta segunda ecuación se puede obtener tomando la ecuación de p=mv/1v2/c2p=mv/1v2/c2 y resolviendo vv. La diferenciación de la primera ecuación y conectar en el segundo, entonces los rendimientos ¨p=ω2p1+p2/m2c2.¨p=ω2p1+p2/m2c2. donde ω2=k/mω2=k/m como de costumbre. Este es un de segundo orden de la educación a distancia de la forma ¨p=f(p)¨p=f(p), y por lo tanto puede ser resuelto (al menos en principio) a través del método de cuadraturas: ˙p¨p=ω2˙pp1+p2/m2c2ddt(12˙p2)=ddt(ω2m2c21+p2/m2c2)12˙p2=ω2m2c21+p2/m2c2+C,˙p¨p=ω2˙pp1+p2/m2c2ddt(12˙p2)=ddt(ω2m2c21+p2/m2c2)12˙p2=ω2m2c21+p2/m2c2+C, donde CC es una constante determinada por las condiciones iniciales. En particular, si tomamos el caso de que la partícula se suelta desde el reposo a una distancia AA desde el origen, entonces tenemos p0=0p0=0˙p0=kA˙p0=kA, lo que implica que C=12k2A2+ω2m2c2;C=12k2A2+ω2m2c2;
y así tenemos dpdt=±k2A2+2ω2m2c22ω2m2c21+p2/m2c2.dpdt=±k2A2+2ω2m2c22ω2m2c21+p2/m2c2.

Esta es una ecuación separable, por lo que en principio, entonces, tenemos una solución implícita de t(p)t(p): t(p)=p0dp[2C2ω2m2c21+p2/m2c2)1/2.t(p)=p0dp[2C2ω2m2c21+p2/m2c2)1/2. Hacen de todo, como adimensional como sea posible, hemos de redefinir ˜p=p/mc~p=p/mc˜C=C/ω2m2c2~C=C/ω2m2c2; la integral se convierte entonces en t(˜p)=1ω˜p0d˜p[2˜C21+˜p2)1/2.t(~p)=1ω~p0d~p[2~C21+~p2)1/2. No sé cómo resolver esta integral, personalmente. Mathematica me dice que no hay una solución en términos de incompleta de las integrales elípticas, pero no es terriblemente iluminando; y parece bastante desesperado para tratar de invertir esta para obtener p(t)p(t) y, por lo tanto,x(t)x(t).

Sin embargo, esta expresión puede usarse para determinar el periodo de oscilación. Si pensamos acerca de la oscilación, se tomará una cuarta parte del objeto del periodo de p=0p=0 a un máximo de pp (donde ˙p=0˙p=0.) Este será, precisamente, donde la cantidad entre corchetes en la integral anterior se desvanece. En otras palabras, el período de ττ será dada por τ=4ω˜C210d˜p[2˜C21+˜p2)1/2τ=4ω~C210d~p[2~C21+~p2)1/2 Tenga en cuenta que la dependencia de la amplitud de la época está codificada en la constante ˜C~C. Dicho esto, todavía no estoy seguro de cómo resolver esta integral, y Mathematica no se preocupó por ella. Si nada más, es susceptible de integración numérica de ahora.

EDIT: En el límite Newtoniano, tendremos ˜p1~p1, en todos los tiempos, y ˜C=1+12k2A2ω2m2c2=1+ω2A22c2˜C21ωc.~C=1+12k2A2ω2m2c2=1+ω2A22c2~C21ωc. Por lo que el período de tiempo en este límite se convierte en τ4ωωA/c0d˜p[2+ω2A2c22˜p2]1/2=4ωωA/c0d˜p[ω2A2c2˜p2]1/2=4ω[arcsin(c˜pωA)]ωA/c0=4ω[π2]=2πω.τ4ωωA/c0d~p[2+ω2A2c22~p2]1/2=4ωωA/c0d~p[ω2A2c2~p2]1/2=4ω[arcsin(c~pωA)]ωA/c0=4ω[π2]=2πω. Así que la de Newton resultado del periodo se recupera. Uno podría hacer una expansión similar a resolver para p(t)p(t) en este caso, ya que nos quedaría algo como ωt=arcsin(c˜p/ωA).ωt=arcsin(c~p/ωA).

0voto

Gil Milow Puntos 160

Yo estaba tratando de ver qué resultados me gustaría conseguir si yo fuera a incorporar correcciones relativistas en el caso de un oscilador armónico en una dimensión. [...] γ3 m0 ¨x=kxγ3 m0 ¨x=kx

Ya que tu pregunta es específicamente sobre el movimiento armónico, podríamos (lugar) insisten en esta solución

x[ t ]:=xmax Sin[ ω (tt0) ],x[ t ]:=xmax Sin[ ω (tt0) ],

y preguntar acerca de la expresión, como una función de la xx, correspondiente adecuados fuerza conservadora (o, eventualmente, la "forma" de una correspondiente potencial).

En consecuencia, nos gustaría que nos inserte el "armónico de la solución" en el lado izquierdo de la ecuación:

γ3 m0 ¨xm0 ω2 xmax Sin[ ω (tt0) ] / 1(xmax ω Cos[ ω (tt0) ]c)2γ3 m0 ¨xm0 ω2 xmax Sin[ ω (tt0) ] / 1(xmax ω Cos[ ω (tt0) ]c)2

y la pregunta de cómo expresar como una función de la variable xx (en lugar de la variable tt). Claro que esto es sencillo mediante la inserción de la armónica de la solución:

γ3 m0 ¨x   m0 ω2 x / 1(xmax ω Cos[ ArcSin[ x/xmax ] ]c)2 =m0 ω2 x / 1(xmax ω 1(x/xmax)2c)2 =m0 ω2 x / 1(xmax ωc)2+(x ωc)2.γ3 m0 ¨x   m0 ω2 x / 1(xmax ω Cos[ ArcSin[ x/xmax ] ]c)2 =m0 ω2 x /  1(xmax ω 1(x/xmax)2c)2 =m0 ω2 x / 1(xmax ωc)2+(x ωc)2.

Por supuesto, debemos exigir 0<xmax ω<c0<xmax ω<c, por la raíz cuadrada es siempre definida y real.
En el ("no-relativista") límite de xmax ωcxmax ωc (y desde 0|x|xmax0|x|xmax) esta fuerza de la expresión de los enfoques de la parte derecha de la ecuación: m0 ω2 xk xm0 ω2 xk x.

También se integra fácilmente a la obtención de la correspondiente "relativista armónico forma potencial"

V[ x ]:=m0 c2 1(xmax ωc)2+(x ωc)2Vref;V[ x ]:=m0 c2 1(xmax ωc)2+(x ωc)2Vref;

donde el término con el explícito xx dependencia en el límite de xmax ωcxmax ωc enfoques m0 c2 12 (x ωc)2=12 m0 ω2 x2k2 x2m0 c2 12 (x ωc)2=12 m0 ω2 x2k2 x2.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X